Cho tam giác ABC nhọn, 2 đường cao AH và BK cắt nhau tại O
a. Chứng minh CO vuông góc AB và góc CAH= góc CBK
b. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh tam giác MHK cân tại M
c. Nếu biết OA=OB thì tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao
Cho tam giác ABC nhọn, 2 đường cao AH và BK cắt nhau tại O
a. Chứng minh CO vuông góc AB và góc CAH= góc CBK
b. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh tam giác MHK cân tại M
c. Nếu biết OA=OB thì tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao
a) Xét $ΔABC$ có:
$AH\perp BC \, (gt)$
$BK\perp AC \, (gt)$
$AH$ cắt $BK$ tại $O$
⇒ $O$ là trực tâm của $ΔABC$
⇒ $CO\perp AB$
Ta có: $AH\perp BC ⇒ ΔHAC$ vuông tại $H$
⇒ $\widehat{HAC} + \widehat{ACB} = 90^o$
$BK\perp AC ⇒ ΔKBC$ vuông tại $K$
⇒ $\widehat{KBC} + \widehat{ACB} = 90^o$
⇒ $\widehat{HAC} = \widehat{KBC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)
b) Xét $ΔHAB$ vuông tại $H$ có:
$M$ là trung điểm cạnh huyền $AB$
⇒ $MH = MA = MB$
Xét $ΔKAB$ vuông tại $K$ có:
$M$ là trung điểm cạnh huyền $AB$
⇒ $MK = MA = MB$
Do đó $MK = MH$
⇒ $ΔMHK$ cân tại $M$
c) Ta có: $CO\perp AB$
mà $OA = OB$
⇒ $O \in$ trung trực của $AB$
⇒ $OM\perp AB$
⇒ $C, O, M$ thẳng hàng
⇒ $CO$ vừa là trung trực, vừa là đường cao
⇒ $ΔCAB$ cân tại $C$
Đáp án:
a) Xét ΔABCΔABC có:
AH⊥BC(gt)
BK⊥AC(gt)
AHcắt BKBK tại OO
⇒ O là trực tâm của ΔABC
⇒ CO⊥AB
Ta có: AH⊥BC⇒ΔHACAH⊥BC⇒ΔHAC vuông tại HH
⇒ ˆHAC+ˆACB=90oHAC^+ACB^=90o
BK⊥AC⇒ΔKBCBK⊥AC⇒ΔKBC vuông tại KK
⇒ ˆKBC+ˆACB=90oKBC^+ACB^=90o
⇒ ˆHAC=ˆKBCHAC^=KBC^ (cùng phụ ˆACBACB^)
b) XétΔHAB vuông tại H có:
MM là trung điểm cạnh huyền ABAB
⇒ MH=MA=MBMH=MA=MB
Xét ΔKABΔKAB vuông tại KK có:
MM là trung điểm cạnh huyền ABAB
⇒ MK=MA=MBMK=MA=MB
Do đó MK=MHMK=MH
⇒ ΔMHKΔMHK cân tại MM
c) Ta có: CO⊥ABCO⊥AB
mà OA=OBOA=OB
⇒ O∈O∈ trung trực của ABAB
⇒ OM⊥ABOM⊥AB
⇒ C,O,MC,O,M thẳng hàng
⇒ COCO vừa là trung trực, vừa là đường cao
⇒ ΔCABΔCAB cân tại C
Giải thích các bước giải: