Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng $\frac{HA’}{AA’}$ + $\frac{HB’}{BB’}$ + $\frac{HC’}{CC’}$
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của ∠AIC và ∠AIB. Chứng minh rằng:
AN.BI.CM=BN.IC.AM
c) Chứng minh rằng: $\frac{(AB+BC+CA)^2}{AA’^2+BB’^2+CC’^2}$ ≥ 4
a) Ta có HA′AA′=HA′.BCAA′.BC=2SHBC2SABC=SHBCSABCHA′AA′=HA′.BCAA′.BC=2SHBC2SABC=SHBCSABC.
Tương tự HB′BB′=SHCASABC;HC′CC′=SHABSABCHB′BB′=SHCASABC;HC′CC′=SHABSABC.
Do đó HA′AA′+HB′BB′+HC′CC′=SHBC+SHCA+SHABSABC=1HA′AA′+HB′BB′+HC′CC′=SHBC+SHCA+SHABSABC=1.
b) Theo t/c đường phân giác ta có AN.BI.CMBN.CI.AM=ANBN.BICI.CMAM=AIIB.IBIC.CIAI=1AN.BI.CMBN.CI.AM=ANBN.BICI.CMAM=AIIB.IBIC.CIAI=1.
c) Bổ đề: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Khi đó AH2≤(AB+AC−CB)(AC+AB+BC)4AH2≤(AB+AC−CB)(AC+AB+BC)4.
Thật vậy, dựng hình chữ nhật AHCE. Lấy F đối xứng với C qua AF.
Ta có AH=CE=CF2AH=CE=CF2.
Do đó CF2+CB2=BF2≤(AB+AF)2=(AB+AC)2⇒CF2≤(AB+AC−CB)(AC+AB+BC)⇒AH2≤(AB+AC−CB)(AC+AB+BC)4CF2+CB2=BF2≤(AB+AF)2=(AB+AC)2⇒CF2≤(AB+AC−CB)(AC+AB+BC)⇒AH2≤(AB+AC−CB)(AC+AB+BC)4.
Bổ đề được cm.
Áp dụng ta có (AB+BC+CA)2AA′2+BB′2+CC′2≥(AB+BC+CA)2(AB+AC−CB)(AC+AB+BC)4+(BC+BA−AC)(AC+AB+BC)4+(BC+AC−AB)(AC+AB+BC)4=4(AB+BC+CA)2AA′2+BB′2+CC′2≥(AB+BC+CA)2(AB+AC−CB)(AC+AB+BC)4+(BC+BA−AC)(AC+AB+BC)4+(BC+AC−AB)(AC+AB+BC)4=4.
Vậy ta có đpcm.