Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. CMR: BH.BE+CH.CF=BC²

Từ H vẽ HK⊥BC

Xét △ BKH và △ BEC có:

HBCˆchung

BKHˆ=BECˆ =90^o

⇒⇒ △BKH đồng dạng với △BEC (g.g)

⇒⇒ BKBE=BHBC

⇒⇒ BH.BE=BK.BC(1)

Xét △ CKH và △ CFB có:

BCHˆ chung

CKHˆ=CFBˆ =90^o

⇒⇒ △ CKH đồng dạng với △ CFB(g.g)

⇒⇒ CKCF=CHBC

⇒⇒ CH.CF=BC.CK(2)

Cộng (1) với (2) ta được:

BH.BE+CH.CF=BK.BC+CK.BC=BC.(CK+BK)=BC.BC=BC²

⇒⇒ BH.BE+CH.CF=BC²