Cho tam giác ABC nhọn có BC=a, CA=b , AB=c trong đó b-c=a/k (k>1). Gọi ha,hb,hc lần lượt là độ dài đường cao hạ từ A,B,C. 1. CMR; sinA=k(sin B-sinC)

Gọi $H,K,L$ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C$ lên $BC,AC,AB$

$\Rightarrow AH = h_a; \, BK= h_b; \, CL= h_c$

Ta có:

$\sin B = \dfrac{AH}{AB}$

$\sin C = \dfrac{AH}{AC}$

$\Rightarrow \sin B – \sin C = AH.\left(\dfrac{1}{AB} – \dfrac{1}{AC}\right)$

$= \dfrac{AH(AC – AB)}{AC.AB}$

$= \dfrac{AH.\dfrac{BC}{k}}{AC.AB}$

$= \dfrac{AH.BC}{k.AC.AB}$

$= \dfrac{AC.BK}{k.AC.AB}$

$= \dfrac{AC.AB.\sin A}{k.AC.AB}$

$= \dfrac{\sin A}{k}$

$\Rightarrow \sin A = k(\sin B – \sin C)$

Ta cũng có:

$\dfrac{1}{BK} – \dfrac{1}{CL}$

$= \dfrac{CL – BK}{BK.CL}$

$= \dfrac{AC.\sin A – AB.\sin A}{AB.\sin A.AC.\sin A}$

$= \dfrac{\dfrac{BC}{k}}{AB.AC.\sin A}$

$= \dfrac{BC}{k.AB.CL}$

$= \dfrac{BC}{k.BC.AH}$

$= \dfrac{1}{k.AH}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AH}=k\left(\dfrac{1}{BK} – \dfrac{1}{CL}\right)$

Hay $\dfrac{1}{h_a} = k\left(\dfrac{1}{h_b} – \dfrac{1}{h_c}\right)$