cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, 2 đường cao BE,CF cắt nhau tại H. Tia OA cắt đường tròn tâm O tại D
a, chứng minh BCEF là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O
b, Chứng minh BHCD là hình bình hành
c, M là trung điểm của BC,G là trọng tâm của tam giác ABC chứng minh OM=1/2 AH
d, nếu AH=AO tính góc BAC
Đáp án:
a) Ta có: AB=AC và HB=HC
=> AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên AH⊥BC (1)
Mặt khác: OB=OC (bán kính) => O nằm trên đường trung trực AH.
Đồng thời: OA⊥AE (bán kính và tiếp tuyến) (2)
Từ (1) và (2) => BC//AE
b) Ta có BCAˆ=EACˆBCA^=EAC^ (so le trong do BC//AE)
BDCˆ=EDAˆBDC^=EDA^ (đối đỉnh)
DC=DA (D là trung điểm AC)
=> ΔBCD=ΔEAD (g-c-g)
=> DB=DE
Vậy tứ giác ABCE có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.
c) Ta có: OH⊥BC (AH là trung trực của BC)
và OD⊥AC (bán kính qua trung điểm dây cung)
Hai tam giác vuông OHC và ODC có chung cạnh huyền OC nên cùng nội tiếp trong đường tròn đường kính OC tức là 4 điểm O,H,C,D cùng nằm trên đường tròn đường kính OC.
d) Ta có OI⊥CF (bán kính qua trung điểm dây cung)
mà AB//CF (ABCE là hbh)
=> OI⊥AB
=> HGOˆ=HABˆHGO^=HAB^ (2 góc có các cạnh vuông góc và cùng nhọn)
mà HABˆ=HACˆHAB^=HAC^ (tam giác ABC cân nên đường trung tuyến AH cũng là phân giác)
=> HGOˆ=HACˆHGO^=HAC^
=> ΔHGO∼ΔHAC (từ (3) và có chung góc vuông H)
=> GHAH=HOHC⇔GH=AH.HOHC=AH.HOBC2GH=2.AH.HOBC
Giải thích các bước giải: