Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp O. Tiếp tuyến tại A của O giao BC tại K. Kẻ tiếp tuyến KD của (O) khác KA. a) CMR $KA^{2}=KB.KC$ và $\frac{KB}{KC}=\fra

Lời giải:

a) Xét $\triangle KAB$ và $\triangle KCA$ có:

$\begin{cases}\widehat{K}:\ \text{góc chung}\\\widehat{KAB}=\widehat{KCA}\quad \text{(cùng chắn $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\end{cases}$

Do đó: $\triangle KAB\backsim \triangle KCA\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{KA}{KC}=\dfrac{KB}{KA}=\dfrac{AB}{AC}$

$\Rightarrow \begin{cases}KA^2 = KB.KC\\\dfrac{KB^2}{KA^2}=\dfrac{AB^2}{AC^2}\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}KA^2 = KB.KC\\\dfrac{KB^2}{KB.KC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}KA^2 = KB.KC\\\dfrac{KB}{KC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}\end{cases}$

b) Xét $\triangle KDB$ và $\triangle KCD$ có:

$\begin{cases}\widehat{K}:\ \text{góc chung}\\\widehat{KDB}=\widehat{KCD}\quad \text{(cùng chắn $\mathop{BD}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\end{cases}$

Do đó: $\triangle KDB\backsim \triangle KCD\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{KD}{KC}=\dfrac{BD}{CD}$

$\Rightarrow \dfrac{KA}{KC}=\dfrac{BD}{CD}$ (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$

$\Rightarrow AB.CD = AC.BD$