Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O vẽ Ax là tiếp tuyến đường tròn O đường thẳng song song với Ax cắt các cạch AB,AC lần lượt M,N . chứng minh MNBC nội tiếp ?
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O vẽ Ax là tiếp tuyến đường tròn O đường thẳng song song với Ax cắt các cạch AB,AC lần lượt M,N . chứng minh MNBC nội tiếp ?
@leloibuocdi hình bạn tự vẽ nhá ( mình chỉ gợi ý tý cái máy không ghi được góc ạ)
Giải thích các bước giải:
a, Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
Ax và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C ⇒ CA = CE
By và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D ⇒ DB= DE
Suy ra: AC + BD = CE + DE = CD (đpcm)
b, ΔAEB nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ΔAEB vuông tại E mà EF là đường cao
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được: AF.AB = AE2AE2 (1)
ΔBAK vuông tại A có AE là đường cao
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được: KE.EB = AE2AE2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AF. AB = KE. EB (đpcm)
c, Ax ║ By (cùng ⊥ AB), theo định lí Thalet ta có: CEEDCEED = CIIBCIIB = AFFBAFFB
Mà CE = CA và ED = BD
⇒ AFFBAFFB = CABDCABD, lại có ˆCAFCAF^ = ˆFBDFBD^ = 90o90o
⇒ ΔAFC đồng dạng với ΔBFD (c.g.c) (đpcm)
d, Ta có: CA = CE; OA = OE ⇒ OC là đường trung trực của AE
Mà AE ⊥ EB ⇒ OC ║ EB hay OC ║ BK, lại có O là trung điểm của BC
⇒ C là trung điểm của AK ⇒ AC = CK
EF ║ AK ⇒ IECKIECK = BIBCBIBC = IFACIFAC
Mà AC = CK ⇒ IE = IF
Gọi P = IM ∩ Ax; Q = IN ∩ By
Ta có: CP ║ IF ⇒ CPIFCPIF = MPMIMPMI
PA ║ IE ⇒ MPMIMPMI = APIEAPIE
Mà IE = IF ⇒ CP = MP ⇒ P là trung điểm của AC
Chứng minh tương tự ta có Q là trung điểm của BD
IE ║ BD ⇒ CIIBCIIB = CEEDCEED = CABDCABD = 2CP2QB2CP2QB = CPQBCPQB
và ˆPCIPCI^ = ˆQBIQBI^
⇒ ΔPCI đồng dạng với ΔQBI (c.g.c)
⇒ ˆPICPIC^ = ˆQIBQIB^
⇒ ˆQIBQIB^ + ˆPIBPIB^ = ˆPICPIC^ + ˆPIBPIB^ = 180o180o
⇒ P, I, Q thẳng hàng ⇒ M, I, N thẳng hàng (đpcm)