Cho tam giác ABC nội tiếp trong
đường tròn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung
nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc
với các cạnh AB, BC, AC. Gọi H là hình chiếu
của D lên tiếp tuyến Ax của (O).
a) Chứng minh: AHED nội tiếp
b) Gọi giao điểm của AE với HD và HB với
(O) là P và Q, ED cắt (O) tại M.
Chứng minh: HA.DP = PA.DE
c) Chứng minh: QM = AB
d) Chứng minh: DE.DG = DF.DH
e) Chứng minh: E, F, G thẳng hàng (đường
thẳng Sim sơn)
Giải thích các bước giải:
a.Ta có : $DH\perp Ax, DE\perp AB$
$\to\widehat{DEA}=\widehat{DHA}=90^o$
$\to AHED$ nội tiếp
b.Vì $AHED$ nội tiếp
$\to\widehat{PAH}=\widehat{PDE},\widehat{PHA}=\widehat{PED}$
$\to\Delta AHP\sim\Delta DEP(g.g)$
$\to\dfrac{AH}{DE}=\dfrac{AP}{DP}\to HA.DP=PA.DE$
c.Ta có $\widehat{AQM}=\widehat{ADM}=\widehat{AHE}$
d.Ta có $DF\perp BC,DE\perp AB,DG\perp AC$
$\to DFGC,DFBE$ nội tiếp
$\to\widehat{DGF}=\widehat{FCD}=\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=\widehat{EAD}=\widehat{EHD}$
Tương tự
$\widehat{FDG}=\widehat{FCG}=\widehat{ACB}=\widehat{HAB}=\widehat{HDE}$ vì HA là tiếp tuyến
$\to\Delta DHE\sim\Delta DGF(g.g)$
$\to\dfrac{DH}{DG}=\dfrac{DE}{DF}\to DE.DG=DF.DH$
e.Ta có $DEBF, DFGC$ nội tiếp
$\to\widehat{EFD}=\widehat{EBD}=\widehat{ACD}=\widehat{GCD}$
$\to\widehat{EFG}=\widehat{EFD}+\widehat{DFG}=\widehat{DCG}+\widehat{DFG}=180^o$
$\to E,G,F$ thẳng hàng
Đáp án:
🙂
Giải thích các bước giải:
a.Ta có : DH⊥Ax,DE⊥ABDH⊥Ax,DE⊥AB
⇒ˆDEA=ˆDHA=90o→DEA^=DHA^=90o
⇒AHED→AHED nội tiếp
b.Vì AHEDAHED nội tiếp
⇒ˆPAH=ˆPDE,ˆPHA=ˆPED→PAH^=PDE^,PHA^=PED^
⇒ΔAHP∼ΔDEP(g.g)→ΔAHP∼ΔDEP(g.g)
⇒AHDE=APDP→HA.DP=PA.DE→AHDE=APDP→HA.DP=PA.DE
c.Ta có ˆAQM=ˆADM=ˆAHEAQM^=ADM^=AHE^
d.Ta có DF⊥BC,DE⊥AB,DG⊥ACDF⊥BC,DE⊥AB,DG⊥AC
⇒DFGC,DFBE→DFGC,DFBE nội tiếp
⇒ˆDGF=ˆFCD=ˆBCD=ˆBAD=ˆEAD=ˆEHD→DGF^=FCD^=BCD^=BAD^=EAD^=EHD^
Tương tự
ˆFDG=ˆFCG=ˆACB=ˆHAB=ˆHDEFDG^=FCG^=ACB^=HAB^=HDE^ vì HA là tiếp tuyến
⇒ΔDHE∼ΔDGF(g.g)→ΔDHE∼ΔDGF(g.g)
⇒DHDG=DEDF→DE.DG=DF.DH→DHDG=DEDF→DE.DG=DF.DH
e.Ta có DEBF,DFGCDEBF,DFGC nội tiếp
⇒ˆEFD=ˆEBD=ˆACD=ˆGCD→EFD^=EBD^=ACD^=GCD^
⇒ˆEFG=ˆEFD+ˆDFG=ˆDCG+ˆDFG=180o→EFG^=EFD^+DFG^=DCG^+DFG^=180o
⇒E,G,F→E,G,F thẳng hàng
chúc bạn học tốt ! ^^ 🙂