Cho tam giác ABC thỏa mãn 2AB bình -3AC bình -5.AB. AC=0.Các điểm M,N được xác định bởi MC=-2MB,NB=-2NA.Chứng minh AM vuông góc với CN
Cho tam giác ABC thỏa mãn 2AB bình -3AC bình -5.AB. AC=0.Các điểm M,N được xác định bởi MC=-2MB,NB=-2NA.Chứng minh AM vuông góc với CN
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC} \\ = \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AN} = – \overrightarrow {AC} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CN} = \left( {\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( { – \overrightarrow {AC} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\\ = – \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} – \dfrac{1}{3}A{C^2} + \dfrac{2}{9}A{B^2} + \dfrac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \dfrac{2}{9}A{B^2} – \dfrac{1}{3}A{C^2} – \dfrac{5}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \dfrac{{2A{B^2} – 3A{C^2} – 5\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{9}\\ = \dfrac{0}{9} = 0\\ \Rightarrow AM \bot CN\end{array}\)