cho tam giác ABC , tia phân giác của góc C cắt AB ở D. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE =CB
a: Chứng minh CD // EB
b: Tia phân giác của góc E cắt đường thẳng CD tại F, vẽ CK vuông góc với EF tại K. Chứng minh CK là tia phân giác của góc ECF.
a) Xét \(\Delta CBE\) có:
\(CB=CE\left(gt\right)\)
=> \(\Delta CBE\) cân tại C.
=> \(\widehat{CBE}=\widehat{CEB}\) (tính chất tam giác cân).
Vì \(CD\) là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{ACD}=\widehat{DCB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}.\)
Hay \(\widehat{ACB}=2\widehat{ACD}=2\widehat{DCB}\) (1).
Lại có: \(\widehat{ACB}=\widehat{CBE}+\widehat{CEB}\) (vì \(\widehat{ACB}\) là góc ngoài tại đỉnh C của \(\Delta CBE\)).
=> \(\widehat{ACB}=\widehat{CBE}+\widehat{CBE}\)
=> \(\widehat{ACB}=2\widehat{CBE}\) (2).
Từ (1) và (2) => \(2\widehat{DCB}=2\widehat{CBE}.\)
=> \(\widehat{DCB}=\widehat{CBE}.\)
Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong.
=> \(CD\) // \(EB.\)
b) Vì \(CD\) // \(EB\left(cmt\right)\)
=> \(CK\) // \(EB.\)
=> \(\widehat{CFE}=\widehat{FEB}\) (vì 2 góc so le trong).
Mà \(\widehat{CEF}=\widehat{FEB}\) (vì \(EF\) là tia phân giác của \(\widehat{CEB}\))
=> \(\widehat{CFE}=\widehat{CEF}.\)
Vì \(\Delta KCF\) vuông tại \(K\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{KFC}+\widehat{KCF}=90^0\) (tính chất tam giác vuông) (3).
Vì \(\Delta KCE\) vuông tại \(K\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{KEC}+\widehat{KCE}=90^0\) (tính chất tam giác vuông) (4).
Vì \(\widehat{CFE}=\widehat{CEF}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{KFC}=\widehat{KEC}\) (5).
Từ (3) ; (4) và (5) => \(\widehat{KCF}=\widehat{KCE}.\)
=> \(CK\) là tia phân giác của \(\widehat{ECF}\left(đpcm\right).\)
a. Xét $\Delta ABE$ có:
$\widehat{ACB}+\widehat{ECB}=180^o$ (kề bù)
hay $\widehat{ACD}+\widehat{BCD}+\widehat{ECB}=180^o$
Mà $\widehat{ACD}=\widehat{BCD}$ (CD là phân giác của $\widehat{ACB}$)
⇒ $2\widehat{ACD}+\widehat{ECB}=180^o$
⇒ $2\widehat{ACD}=180^o-\widehat{ECB}$ (1)
Xét $\Delta CBE$ có:
$CE=CB$ (gt)
⇒ $\Delta CBE$ cân tại C
⇒ $\widehat{CBE}=\widehat{CEB}$ (tính chất tam giác cân)
Lại có: $\widehat{ECB}+\widehat{CBE}+\widehat{CEB}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)
⇒ $\widehat{ECB}+2\widehat{CBE}=180^o$ ($\widehat{CBE}=\widehat{CEB}$)
⇒ $2\widehat{CBE}=180^o-\widehat{ECB}$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{ACD}=\widehat{CBE}(=\dfrac{180^o-\widehat{ECB}}{2})$
Mà hai góc $\widehat{ACD}$ và $\widehat{CBE}$ ở vị trí so le trong
⇒ CD // EB
b. Ta có: CD // EB (chứng minh ở câu a)
⇒ $\widehat{CFE}=\widehat{FEB}$ (so le trong)
Lại có: $\widehat{CEF}=\widehat{FEB}$ (EF là phân giác)
⇒ $\widehat{CFE}=\widehat{CEF}(=\widehat{FEB})$
⇒ $\Delta CFE$ cân tại C
Mặt khác: CK ⊥ FE = {K}
⇒ CK là đường cao
⇒ CK đồng thời là đường phân giác của $\widehat{ECF}$ (tính chất tam giác cân)