Cho tam giác ABC Tìm tập hợp M sao cho 2|vt MA + vtMB + vtMC| =3|vtMB +vtMC| .? 15/09/2021 Bởi Eden Cho tam giác ABC Tìm tập hợp M sao cho 2|vt MA + vtMB + vtMC| =3|vtMB +vtMC| .?
Gọi G là trọng tâm ∆ABC => vtGA + vtGB + vtGC = vt0, ta có 2|vtMA + vtMB + vtMC| = 3|vtMB +vtMC| <=> 2|(vtMG + vtGA) + (vtMG + vtGB) + (vtMG + vtGC)| = 3|(vtMG + vtGB) + ( vtMG + vtGC)| <=> 2|vtMG| = |2vtMG + vtAG| <=> 4vtMG² = 4vtMG² + 4vtMG.vtAG + vtAG² <=> vtAG.(4vtMG + vtAG) = 0 (*) Suy ra cách xác định M như sau: Lấy K xác định sao cho vtAG = 4vtGK. Tập hợp các điểm M cần tìm là đường thẳng (d) đi qua K và vuông góc với AG Cm : Xét điểm M bất kỳ trên (d) ta có: 4vtMG + vtAG = 4vtMG + 4vtGK = 4(vt MG + vtGK) = 4vtMK => vtAG.(4vtMG + vtAG) = 4vtAG.vtMK = 0 (vì AG _|_ MK) thỏa mãn (*) Bình luận
Gọi G là trọng tâm ∆ABC => vtGA + vtGB + vtGC = vt0, ta có
2|vtMA + vtMB + vtMC| = 3|vtMB +vtMC|
<=> 2|(vtMG + vtGA) + (vtMG + vtGB) + (vtMG + vtGC)| = 3|(vtMG + vtGB) + ( vtMG + vtGC)|
<=> 2|vtMG| = |2vtMG + vtAG|
<=> 4vtMG² = 4vtMG² + 4vtMG.vtAG + vtAG²
<=> vtAG.(4vtMG + vtAG) = 0 (*)
Suy ra cách xác định M như sau: Lấy K xác định sao cho vtAG = 4vtGK. Tập hợp các điểm M cần tìm là đường thẳng (d) đi qua K và vuông góc với AG
Cm : Xét điểm M bất kỳ trên (d) ta có: 4vtMG + vtAG = 4vtMG + 4vtGK = 4(vt MG + vtGK) = 4vtMK
=> vtAG.(4vtMG + vtAG) = 4vtAG.vtMK = 0 (vì AG _|_ MK) thỏa mãn (*)