Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, G là trọng tâm tam giác. Đường thẳng d đi qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N a/ Qua B và C kẻ các đường t

0 bình luận về “Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, G là trọng tâm tam giác. Đường thẳng d đi qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N a/ Qua B và C kẻ các đường t”

1. a) Ta có:

   $BB’//d$

   $CC’//d$

   $\to BB’//CC’$

   $\to \widehat{B’BD}=\widehat{C’CD}$ (so le trong)

   Xét $∆BB’D$ và $∆CC’D$ có:

   $\widehat{BDB’}=\widehat{CDC’}$ (đối đỉnh)

   $BD = DC =\dfrac12BC\quad (gt)$

   $\widehat{B’BD}=\widehat{C’CD}\quad (cmt)$

   Do đó $∆BB’D=∆CC’D\, (g.c.g)$

   $\to DB’= DC’$

   b) Ta có:

   $BB’//d$

   $\to BB’//MG$

   $\to \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AB’}{AG}$ (theo định lý $Thales$)

   $CC’//d$

   $\to CC’//GN$

   $\to \dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AC’}{AG}$ (theo định lý $Thales$)

   Ta được:

   $\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}$

   $=\dfrac{AB’}{AG}+\dfrac{AC’}{AG}$

   $=\dfrac{AB’ + AC’}{AG}$

   $=\dfrac{(AG + GB’) + (AG+ GB’+ DB’ + DC’)}{\dfrac23AD}$

   $=\dfrac{2(AG + GB’ + DB’)}{\dfrac23AD}$

   $ =\dfrac{3AD}{AD}=3$

   Ta lại có:

   $\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{GB’}{AG}$

   $\dfrac{CN}{AN}=\dfrac{GC’}{AG}$

   Do đó:

   $\dfrac{BM}{AM}+\dfrac{CNl}{AN}$

   $= \dfrac{GB’}{AG} +\dfrac{GC’}{AG}$

   $=\dfrac{GB’+GC’}{AG}$

   $=\dfrac{GB’ + (GB’ + DB’ DC’)}{AG}$

   $=\dfrac{2(GB’ + DB’)}{2GD}$

   $=\dfrac{GD}{GD}=1$

   Bình luận