Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, G là trọng tâm tam giác. Đường thẳng d đi qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N a/ Qua B và C kẻ các đường t

a) Ta có:

$BB’//d$

$CC’//d$

$\to BB’//CC’$

$\to \widehat{B’BD}=\widehat{C’CD}$ (so le trong)

Xét $∆BB’D$ và $∆CC’D$ có:

$\widehat{BDB’}=\widehat{CDC’}$ (đối đỉnh)

$BD = DC =\dfrac12BC\quad (gt)$

$\widehat{B’BD}=\widehat{C’CD}\quad (cmt)$

Do đó $∆BB’D=∆CC’D\, (g.c.g)$

$\to DB’= DC’$

b) Ta có:

$BB’//d$

$\to BB’//MG$

$\to \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AB’}{AG}$ (theo định lý $Thales$)

$CC’//d$

$\to CC’//GN$

$\to \dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AC’}{AG}$ (theo định lý $Thales$)

Ta được:

$\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}$

$=\dfrac{AB’}{AG}+\dfrac{AC’}{AG}$

$=\dfrac{AB’ + AC’}{AG}$

$=\dfrac{(AG + GB’) + (AG+ GB’+ DB’ + DC’)}{\dfrac23AD}$

$=\dfrac{2(AG + GB’ + DB’)}{\dfrac23AD}$

$ =\dfrac{3AD}{AD}=3$

Ta lại có:

$\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{GB’}{AG}$

$\dfrac{CN}{AN}=\dfrac{GC’}{AG}$

Do đó:

$\dfrac{BM}{AM}+\dfrac{CNl}{AN}$

$= \dfrac{GB’}{AG} +\dfrac{GC’}{AG}$

$=\dfrac{GB’+GC’}{AG}$

$=\dfrac{GB’ + (GB’ + DB’ DC’)}{AG}$

$=\dfrac{2(GB’ + DB’)}{2GD}$

$=\dfrac{GD}{GD}=1$

Trả lời