Cho tam giác ABC vuông tại A.(AB>AC).Điểm M là trung điểm của cạnh BC. Vẽ MD vuông góc với AB tại D. ME vuông góc với AC tại E. Trên tia đối của tia DM lấy N sao cho DN=DM. a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật. b) Chứng minh tứ giác AMBN là hình thoi. c) Vẽ CK vuông góc với BN tại K, gọi I là giao điểm của AM và DE. Chứng minh tam giác IKN là tam giác cân. d) Gọi F là giao điểm của AM và CD. Chứng minh AN=3MF
Giải thích các bước giải:
a.Ta có:
$\begin{cases}AB\perp AC\\ MD\perp AB\\ME\perp AC\end{cases}\rightarrow \Diamond ADME\text{ là hình chữ nhật}$
b.Ta có:
$\begin{cases}\text{D là trung điểm AB}\\\text{D là trung điểm MN}\\ MN\perp AB\end{cases}$
$\rightarrow \Diamond AMBN \text{ là hình thoi}$
c.$\Diamond ADME$ là hình chữ nhật
$\rightarrow AM\cap DE=I$ là trung điểm mỗi đường
$\begin{cases}AN//CM\\AN=BM=CM\end{cases}\rightarrow \Diamond ANMC\text{ là hình bình hành}$
$\rightarrow AM\cap CN=I$ là trung điểm mỗi đường
Xét $\Delta NKC, IN=IC, I\in NC\rightarrow IK=IN=IC\rightarrow \Delta IKN$ cân tại K
d.Do AM, CD là trung tuyến của $\Delta ABC$
$\rightarrow F$ là trọng tâm tam giác
$\rightarrow AM=3MF$
Mà $\Diamond ANBM$ là hình thoi
$\rightarrow AN=AM\rightarrow AN=3MF\rightarrow đpcm$