Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB
By Anna
By Anna
a, Xét $ΔABH$ và $ΔADH$ có:
$AH=HD$
$∠AHB=∠MHD$
$∠BAH=∠HDM$
$=>ΔABH=ΔDMH$
$=>AB=DM$
$=>ABDM$ là HBH
Và: $AH⊥BM$
$=>ABDM$ là hình thoi.
b, Vì: $DN//AB$
Và: $AM⊥AC$
$=> DN⊥AC$
$=>M$ là trực tâm
$=>AM⊥CD$
c, Xét $ΔAHC$ vuông tại $H$ có: $HN⊥AC$
$=>HN=NC=>ΔHCN$ cân tại $N$
$=>∠NHC=∠NCH$
$ΔNMC$ vuông tại $N=>NI=IM=>∠INM=∠NMI$
Mà: $∠NMI+∠NCH=90^0=>∠NHC+∠MNI=90^0=>∠HNI=90^0$
$=>Đpcm$
Đáp án:
1)Xét ▲HBA và ▲HMB,có:
BAHˆ=HMBˆBAH^=HMB^(Vì AB// DN)
BHAˆ=BHDˆ=900(gt)BHA^=BHD^=900(gt)
AH=DHAH=DH
⇒ ▲HBA=▲HMB(g.c.g)
⇒ AB = DN ( Hai cạnh tương ứng)
⇒ ABDM là hình bình hành(tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau)
2,vì
+DN//AB (gt)
+AB ⊥AC (△ABC vuông tại A)
=> AC ⊥DN (qh từ vuông góc đến song song )
=> DN là đường cao △ ADC(1)
mà AD ⊥CH ( AH ⊥AC)
=> CH là đường cao của △ADC
từ (1) và (2) => M là trực tâm của △ADC
=> AM là đường cao
=> AM ⊥DC (đpcm)
3, Ta có:
+AH=HD (gt)
=> CH là đường trung tuyến
+ CH là đường cao của △ADC
=> △ADC cân tại C
=> M là trọng tâm
=> HM=13HCHM=13HC (3)
và MC=23HCMC=23HC
=> MI+MC=23HCMI+MC=23HC
mà MI=MC
=> MI=MC=23HC:2=13HC23HC:2=13HC(4)
từ (3) và (4) ta có HM=MI
* vì ABDM là hình thoi (theo a)
vì △ACD cân
=> AK là đường phân giác
=> HAMˆ=MANˆHAM^=MAN^
* xét △ HAM và NAM có
Hˆ=Nˆ=(900)H^=N^=(900)
AM cạnh chung
HAMˆ=NAMˆ(cmt)HAM^=NAM^(cmt)
=> △HAM = △NAM (ch-gn)
=> HM =NM
* xét △HNI có
HM=NM
HM =IM
=> △HNI vuông tại A (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)
=> IN ⊥HN(đpcm)