Cho tam giác ABC vuông tại A, AB nhỏ hơn AC, AH đường cao, gọi E,F là hình chiếu của H lên AB, AC chứng minh . AH mũ 3 = BE.CF.BC
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB nhỏ hơn AC, AH đường cao, gọi E,F là hình chiếu của H lên AB, AC chứng minh . AH mũ 3 = BE.CF.BC
Xét tam giác vuông AHB có $HE \perp AB$. Áp dụng hệ thức lượng ta có
$BH^2 = BE.BA$ <-> $BE = \dfrac{BH^2}{AB}$
CMTT ta có
$CF = \dfrac{CH^2}{AC}$
Khi đó, ta có
$BE.CF.BC = \dfrac{BH^2}{AB} . \dfrac{CH^2}{AC^2} . BC
$= (BH.CH)^2 . \dfrac{BC}{AB.AC}$ (1)
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC ta có
$AH.BC = AB.AC$ <-> $\dfrac{BC}{AB.AC} = \dfrac{1}{AH}$ (2)
và
$BH.CH = AH^2$ <-> $(BH.CH)^2 = AH^4$ (3)
Thay (2), (3) vào (1) ta có
$BE.CF.BC = AH^4 . \dfrac{1}{AH} = AH^3$.
Vậy ta có điều phải chứng minh