Cho tam giác ABC vuông tại A, AC > AB. Trung trực của AB cắt BC tại I.
a) Chứng minh rằng AIB và AIC là các tam giác cân.
b) Từ I kẻ đường thẳng d vuông góc với BC, cắt tia BA và AC tại M và N; tia BN cắt CM tại E. Chứng minh rằng EB vuông góc MC.
c) Chứng minh rằng các đường thẳng EA và BC song song với nhau.
d)
Tìm điều kiện của tam giác ABC để N là trọng tâm của tam giác AIE.
a)*Tam giác IAB có I thuộc trung trực AB
=> Tam giác IAB cân tại I
*Có IAC = 90 – BAI
BCA = 90 – ABC (mà ABC = BAI)
=>Tg IAC cân tại I
b)*Tg BMC có đg cao CA cắt đg cao MI tại N
=>N là trực tâm
=>BE vg góc MC
c)*M thuộc trung trực BC => MB = MC => MBC = MCB
*N thuộc trung trực BC => NB = NC => NBC = NCB
=> Tg BAC = Tg CEB (cgc)
=> MA = ME => M thuộc trung trực AE
* Gọi J là giao của MI và AE
=> Tg MJA = Tg MJE (cgc)
=> MI vuông góc AE (mà MI vg góc BC)
=>AE // BC d)* Có NB = NC (cmt)
mà EB = AC (hai cạnh tương ứng do Tg BAC = Tg CEB)
=>NA = NE
=>Tg NAE cân tại N
=>NAE = NEA
mà NEA = NBC (slt) = NCB (Tg NCB cân taih N – cmt ) = IAC (Tg IAC cân tại I – cmt)
=>NAE = IAC
=>AK là tpg IAE ( K là giao của AN và IE)
mà AK cx là trung tuyến Tg IAE ( do N là trọng tâm – gt )
=>Tg IAE cân tại A
=>IA = IE
mà IA = IC (Tg IAC cân tại I – cmt)
=>IE = IC
=>Tg IEA = Tg EIC (cgc)
=>IA = EC
mà EC = BA (cmt)
=>IA = BA
=>Tg IAB đều
=>ABC = 60
=>Tg ABC cần có góc ABC = 60 để N là trọng tâm Tg IAE