Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền bằng 8 cm. Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu
Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền bằng 8 cm. Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu
By Brielle
By Brielle
Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền bằng 8 cm. Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu
Đáp án:
$max_{S}=16$
Giải thích các bước giải:
Gọi một cạnh góc vuông có độ dài là $x(x>0)$
Cạnh góc vuông còn lại $\sqrt{64-x^2}$
$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.x.\sqrt{64-x^2}\\ =\dfrac{1}{2}.\sqrt{64x^2-x^4}\\ S_{ABC} \ max \Leftrightarrow \underbrace{64x^2-x^4}_{g(x)} \ max\\ g'(x)=-4x^3+128x\\ g'(x)=0 \Leftrightarrow x=0;x=\pm 4\sqrt{2}\\ BBT:\\ \begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x&0&&4\sqrt{2}&&\infty\\\hline y’&&+&0&-&\\\hline &&&1024&&\\y&&\nearrow&&\searrow\\&0&&&&-\infty\\\hline\end{array}\\ max_{g(x)}=1024\\ \Rightarrow max_{S}=\dfrac{1}{2}.\sqrt{1024}=16$.
Đáp án: $16$
Giải thích các bước giải:
Đặt $x(cm)$ là độ dài 1 cạnh góc vuông tam giác ($0<x<8$)
Cạnh góc vuông còn lại là: $\sqrt{8^2-x^2}=\sqrt{64-x^2}$
$\to S_{ABC}=\dfrac{1}{2}x.\sqrt{64-x^2}=\dfrac{x\sqrt{64-x^2}}{2}=\dfrac{1}{2}.\sqrt{64x^2-x^4}$
Xét hàm $S(x)=\dfrac{1}{2}.\sqrt{64x^2-x^4}$
$S'(x)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{64.2x-4x^3}{2\sqrt{64-x^2}}=\dfrac{32x-x^3}{\sqrt{64-x^2}}$
$S'(x)=0\to x(32-x^2)=0\to x=\sqrt{32}=4\sqrt2$ do $x\in(0;8)$
So sánh $S(0), S(4\sqrt2), S(8)$, kết luận $\max\limits_{(0;8)}S(x)=S(4\sqrt2)=16$