cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC,HC. CMR 1/HD ² = 1/HE ² + 1/EF ²

0 bình luận về “cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC,HC. CMR 1/HD ² = 1/HE ² + 1/EF ²”

1. Sửa đề:

   $\dfrac{1}{HD^2} + \dfrac{1}{HE^2} = \dfrac{1}{EF^2}$

   Ta có: $D$ là trung điểm cạnh huyền $AB$ $(gt)$

   $\Rightarrow DA = DH$

   $E$ là trung điểm cạnh huyền $AC$ $(gt)$

   $\Rightarrow EA = EH$

   $\Rightarrow DE$ là trung trực của $AH$

   $\Rightarrow DE\perp AH$

   Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $AH$

   $\Rightarrow EI\perp AH$

   $\Rightarrow \widehat{I} = 90^o$

   Mặt khác, do $DE$ là trung trực của $AH$

   $\Rightarrow ΔDAE = ΔDHE$

   $\Rightarrow \widehat{DHE} = \widehat{DAE} = 90^o$

   Ta có:

   $AE = EC$ $(gt)$

   $FH = FC$ $(gt)$

   $\Rightarrow EF$ là đường trung bình

   $\Rightarrow EF//AH$

   $\Rightarrow EF \perp BC$

   $\Rightarrow \widehat{F} = 90^o$

   Xét tứ giác $HEIF$ có:

   $\widehat{H} = \widehat{I} = \widehat{F} =90^o$

   Do đó $HEIF$ là hình chữ nhật

   $\Rightarrow EF = HI$

   Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔDHE$ vuông tại $H$ đường cao $HI$, ta được:

   $\dfrac{1}{HI^2} = \dfrac{1}{HD^2} + \dfrac{1}{HE^2}$

   $\Leftrightarrow \dfrac{1}{EF^2} = \dfrac{1}{HD^2} + \dfrac{1}{HE^2}$

   Bình luận