Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Hạ He vuông góc với AC, HF vuông góc với AB, EM vuông góc với BC, FN vuông góc với BC.
CMR
$\sqrt[3]{NB*NF}$ + $\sqrt[3]{MC*ME}$ =$\sqrt[3]{AB*AC}$
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Hạ He vuông góc với AC, HF vuông góc với AB, EM vuông góc với BC, FN vuông góc với BC.
CMR
$\sqrt[3]{NB*NF}$ + $\sqrt[3]{MC*ME}$ =$\sqrt[3]{AB*AC}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có :
$ \sqrt[3]{\dfrac{NB}{BC}.\dfrac{NF}{AH}} = \sqrt[3]{\dfrac{NB}{BC}.\dfrac{BH}{BC}} = \sqrt[3]{\dfrac{NB.BH}{BC²}}$
$ = \sqrt[3]{(\dfrac{BF}{BC}})² = \sqrt[3]{(\dfrac{BF}{BH}.\dfrac{BH}{BC}})² = \sqrt[3]{(\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BH}{BC}})² $
$ = \sqrt[3]{\dfrac{AB².BH²}{BC^{4}}} = \sqrt[3]{\dfrac{(BH.BC).BH²}{BC^{4}}} = \sqrt[3]{\dfrac{BH³}{BC³}} = \dfrac{BH}{BC} (1)$
Tương tự : $\sqrt[3]{\dfrac{MC}{BC}.\dfrac{ME}{AH}} = \dfrac{CH}{BC} (2)$
$ (1) + (2): \sqrt[3]{\dfrac{NB}{BC}.\dfrac{NF}{AH}} + \sqrt[3]{\dfrac{MC}{BC}.\dfrac{ME}{AH}} =\dfrac{BH}{BC} + \dfrac{CH}{BC} = 1$
$⇔ \sqrt[3]{NB.NF} + \sqrt[3]{MC.ME} = \sqrt[3]{AH.BC}$
$⇔ \sqrt[3]{NB.NF} + \sqrt[3]{MC.ME} = \sqrt[3]{AB.AC}$ ( vì $: AB.AC = AH.BC = 2S_{ABC}$)