Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, phân giác BD, gọi K là giao AH và BD. CM:
a) Tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA và AB^2 = BH.BC
b) Tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBK. Tính tỉ số diện tích của 2 tam giác trên nếu AB = 4cm, BC = 6cm
c) Tam giác AKD cân
d) AK.AD = HK.CD
Đáp án : ( xem hình )
*Chữ xấu nên gáng nhìn nha!
a/ Xét \(ΔABH\) và \(ΔCBA\):
\(\widehat B:chung\)
\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}(=90^\circ)\)
\(→ΔABH\backsim ΔCBA(g-g)\)
\(→\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{BC}{AB}\)
\(↔AB^2=BH.BC\)
b/ Xét \(ΔABD\) và \(ΔHBK\):
\(\widehat{ABD}=\widehat{HBK}\) (\(BD\) hay \(BK\) là đường phân giác \(\widehat B\))
\(\widehat{BAD}=\widehat{BHK}(=90^\circ)\)
\(→ΔABD\backsim ΔHBK(g-g)\)
\(AB^2=BH.BC↔BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{4^2}{6}=\dfrac{8}{3}(cm)\)
\(\dfrac{S_{ΔABD}}{S_{ΔHBK}}=(\dfrac{BA}{BH})^2=(\dfrac{4}{\dfrac{8}{3}})^2=\dfrac{9}{4}\)
c/ \(\widehat{AKD}=\widehat{BKH}\) (đối đỉnh)
\(ΔABD\backsim ΔHBK→\widehat{ADB}=\widehat{BKH}\) hay \(\widehat{ADK}=\widehat{BKH}\)
\(→\widehat{AKD}=\widehat{ADK}\)
\(→ΔAKD\) cân tại \(A\)
d/ \(BK\) là đường phân giác \(\widehat B\)
\(→\dfrac{AK}{HK}=\dfrac{BA}{BH}\) (1)
\(BD\) là đường phân giác \(\widehat B\)
\(→\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{BC}{BA}\) (2)
Lại có: \(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\) (2)
(1)(2)(3) \(→\dfrac{AK}{HK}=\dfrac{CD}{AD}\)
\(↔HK.CD=AK.AD\)