Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi D là trugn điểm của BC. Kẻ DE vuông góc AC.Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, I là giao điểm của DM và AB. a) tứ giác AIDE là hình gì? vì sao? b) tứ giác ADBM là hình gì ? vì sao? c) tứ giác AMDC là hình gì? vì sao? d) Để tứ giác AIDE là hình vuông thì tam giác ABC cần điều kiện gì?
a) ΔABC vuông tại A => A = 90°
DE ⊥ AC => Góc DEA = 90°
M đối xứng D qua AB => MD ⊥ AB => Góc DEA = 90°
Xét tứ giác AIDE có :
Góc A = 90°
Góc DEA = 90°
Góc DEA = 90°
=> AIDE là hình chữ nhật
b) M đối xứng D qua AB và MD cắt AB tại I
=> DI = IM
Xét ΔABC có :
D là trung điểm BC
AB // DE ( do AB và DE cùng ⊥ AC )
=> DE là đường trung bình của ΔABC
=>DE = $\frac{1}{2}$ AB
mà DE = IA ( AIDE là hình chữ nhật )
=> BI = IA = $\frac{1}{2}$
Xét Tứ giác ADBM có :
DI = IM
BI = IA
=> ADBM là hình bình hành
mà DA ⊥ AB ( chứng minh a )
=> ADBM là hình thoi
c) ADBM là hình thoi
=>MA = BD và MA // BD ( hay MA // DC )
mà BD = DC ( D là trung điểm BC )
=> MA = DC mà MA // DC
=>AMDC là hình bình hành
d) Để AIDE là hình vuông thì AI = AE
=> BI = IA = AE = EC ( I là trung điểm AB , E là trung điểm AC )
=> Để AIDE là hình vuông thì ΔABC phải là Δ vuông cân tại A
a/ Có `M` đx `D` qua `AB` ; `MD` cắt `AB` tại `I`
`=> MD⊥AB` tại `I` ; `I` là trung điểm `MD`
Hay `hat{AID}=90^o`
Xét tứ giác `AIDE` có
`hat{BAC}=hat{AID}=hat{AED}=90^o`
`=>AIDE` là hcn
b/ Có
`MD⊥AB`
`AB⊥AC` (do `ΔABC` vuông tại `A`)
`=>MD//AC`
`=>DI//AC`
Xét `ΔABC` có
`D` là trung điểm `BC`
`DI//AC; I in AB`
`=>I` là trung điểm `AB`
`=>DI` là đường trung bình `ΔABC`
`=>DI=1/2AC;DI//AC`
Xét tứ giác `ADBM`có
`I` là trung điểm `AB`
`I` là trung điểm `DM`
`DM⊥AB` tại `I`
`DM` cắt `AB` tại `I`
`=>ADBM` là hình thoi
c/ Có
`DI=1/2AC;DI//AC`
`I` là trung điểm `DM`
`=>DM=AC;DM//AC`
`=>AMDC` là hbh
d/ Để hcn`AIDE ` là hình vuông thì `AD` là pg `hat{IAE}`
Hay `AD` là pg `hat{BAC}`
Mà `D` là trung điểm `BC`
`<=>ΔABC` vuông cân tại `A`