Cho tam giác ABC vuông tại A.gọi P là trung điểm của BC.Từ P kẻ PM vuông góc với AB(M thuộc AB),PN vuông góc với AC(N thuộc AC) trên tia PN lấy điểm Q sao cho N là trung điểm của PQ
a) tứ giác AMPN là hình gì? Vì sao?
b) chứng minh N là trung điểm của AC
c) gọi R là điểm đối xứng với điểm P qua điểm M. Chứng minh R,A,Q thẳng hàng
a) Xét tứ giác AMPN có
$\widehat{PMA} = \widehat{MAN} = \widehat{ANP} = 90^{\circ}$
Vậy tứ giác AMPN là hình chữ nhật.
b) Do tứ giác AMPN là hình chữ nhật nên $PN \perp AC$.
Lại có $AB \perp AC$ nên $PN//AB$.
Mặt khác, P là trung điểm BC nên NP là đường trung bình của tam giác BAC.
Vậy N là trung điểm AC.
c) Xét tam giác AMR vuông tại M, ta có
$\widehat{MRA} + \widehat{MAR} = 90^{\circ}$
$<-> \widehat{MAR} = 90^{\circ} – \widehat{MRA}$ (1)
Tương tự, ta có
$\widehat{PQA} + \widehat{NAQ} = 90^{\circ}$
$<-> \widehat{NAQ} = 90^{\circ} – \widehat{PQA}$ (2)
Do tứ giác AMPN là hình chữ nhật nên $QP \perp PR$.
Xét tam giác QPR vuông tại P có
$\widehat{PQR} + \widehat{PRQ} = 90^{\circ}$ (3)
Từ (1), (2), và (3) ta có
$\widehat{MAR} + \widehat{NAQ} = 90^{\circ} – \widehat{MRA} + 90^{\circ} – \widehat{PQA}$
$= 180^{\circ} – (\widehat{MRA} + \widehat{PQA})$
$= 180^{\circ} – 90^{\circ}$
$= 90^{\circ}$
Khi đó, ta có
$\widehat{QAR} = (\widehat{QAN} + \widehat{MAR}) + \widehat{NAM}$
$= 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
Vậy Q, A, R thẳng hàng.