cho tam giác ABC vuông tại A,trên cạnh BC lấy một điểm D,dựng CE vuông góc với BD
a,chứng minh tứ giác A.B.C.F nội tiếp
b,chứng minh AD.CD=EB.BD
(ai trả lời xong trước vote 5 sao nha )
cho tam giác ABC vuông tại A,trên cạnh BC lấy một điểm D,dựng CE vuông góc với BD
a,chứng minh tứ giác A.B.C.F nội tiếp
b,chứng minh AD.CD=EB.BD
(ai trả lời xong trước vote 5 sao nha )
Giải thích các bước giải:
1) Vì MCMC là đường kính của (O)→ˆMDC=90o→MDC^=90o
→ˆBAC→BAC^ và ˆBDCBDC^ cùng nhìn cạnh BCBC dưới góc bằng 90o90o
→◊ABCD→◊ABCD nội tiếp
2)
Tứ giác MDSCMDSC nội tiếp đường tròn tâm (O)(O)
nên ˆMDS+ˆMCS=180oMDS^+MCS^=180o (hai góc đối đỉnh)
Mà ˆADB+ˆMDS=180oADB^+MDS^=180o (kề bù)
⇒ˆMCS=ˆADB⇒MCS^=ADB^
mà ˆADB=ˆACBADB^=ACB^ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB của tứ giác nội tiếp (ABCD))
⇒ˆMCS=ˆACB⇒MCS^=ACB^
→CA→CA là phân giác ˆSCBSCB^
3) Gọi BA∩CD=F→MBA∩CD=F→M là trực tâm ΔFBCΔFBC (vì BD⊥CF,CA⊥AB)(vì BD⊥CF,CA⊥AB)
⇒FM⊥BC⇒FM⊥BC
Mà ˆMEC=90oMEC^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
ME⊥BCME⊥BC
⇒F,M,E⇒F,M,E thẳng hàng
→AB,CD,ME→AB,CD,ME đồng quy
4) Tứ giác nội tiếp ABCDABCD có:
ˆADM=ˆACBADM^=ACB^ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Đường tròn (O)(O) có:
ˆACB=ˆMDEACB^=MDE^ (góc nội tiếp cùng chắn cung ME)
→ˆADM=ˆMDE→DM→ADM^=MDE^→DM là phân giác ˆADEADE^
5) Ta có :
ˆCEM=ˆCAB=90o→◊AMEBCEM^=CAB^=90o→◊AMEB nội tiếp
→ˆDAC=ˆDBC=ˆMAE→AM→DAC^=DBC^=MAE^→AM là phân giác ˆEADEAD^
Và DMDM là phân giác ˆADEADE^ (cmt)
→M→M là tâm đường tròn nội tiếp ΔADEΔADE.