Cho tam giác ABC vuông tại A, trọng tâm G, đường thẳng d đi qua G cắt AB, AC lần lượt tai D,E.
Chứng minh $\frac{1}{AD^{2}}$ +$\frac{1}{AE^{2}} $ $\geq$ $\frac{9}{BC^{2}}$
HỘ VS NHA..GẤP LẮM
Cho tam giác ABC vuông tại A, trọng tâm G, đường thẳng d đi qua G cắt AB, AC lần lượt tai D,E.
Chứng minh $\frac{1}{AD^{2}}$ +$\frac{1}{AE^{2}} $ $\geq$ $\frac{9}{BC^{2}}$
HỘ VS NHA..GẤP LẮM
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Kẻ đường cao `AH` của `\Delta ABC`
$\Delta AHD$ đồng dạng $\Delta EHA$đồng dạng $\Delta ADE$
nên $\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{AD}{DE};\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{DE}$
$\Rightarrow \dfrac{AH^{2}}{AD^{2}}+\dfrac{AH^{2}}{AE^{2}}=\dfrac{AD^{2}+AE^{2}}{DE^{2}}=1$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AH^{2}}=\dfrac{1}{AD^{2}}+\dfrac{1}{AE^{2}}$
Mà $AH\leq AG=\dfrac{2}{3}AD=\dfrac{1}{3}BC$
=>$\dfrac{1}{AD^{2}}+\dfrac{1}{AE^{2}}$$\geq \dfrac{9}{BC^{2}}$