Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên tia đói của các tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE
Chứng minh
Từ D kẻ DM vuông góc với BC, từ E kẻ EN vuông góc với BC chứng minh DM = EM
Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân
Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I chứng minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAC.
a/ có: AB = AC
BD = CE
=> AB / BD = AC / CE
theo định lí đảo Thales ta suy ra: DE // BC (đpcm)
b/ có: MBD và NCE là hai tgiác vuông có cạnh huyền bằng nhau là:
BD = CE.
mặt khác do tính chất góc đối đỉnh ta có:
gócMBD = gócABC; gócNCE = gócACB
mà gócABC = gócACB (ABC là tgiác cân)
=> gócMBD = gócNCE
=> tgiácMBD = tgiácNCE
=> DM = EN (đpcm)
c/ Gọi K là trung điểm BC, do ABC là tgiác cân nên AK vuông BC (đường trung tuyến cũng là đường cao)
có BK = KC
mà MB = NC (tgiác MBD = tgiác NCE)
=> MB + BK = KC + CN
=> MK = KN
hiển nhiên AK vuông MN
tgiác AMN có AK vừa đường cao vừa trung tuyến nên là tgiác cân.
d) IB cắt AM tại P, IC cắt AN tại Q
ta dể cm ABM và ACN là hai tgiác bằng nhau (có ba cạnh tương ứng bằng nhau đôi một)
nên hai đường cao tương ứng bằng nhau, tức là:
BP = CQ
=> tgiác PAB = tgiác QAC (hai tgiác vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)
=> AP = AQ
xét hai tgiác PAI có QAI là hai tgiác vuông có cạnh huyền:AI chung và
AP = AQ
=> tgiác API = tgiác QAI
=> góc PAI = góc QAI
mà do ta có hai tgiác bằng nhau nên:
góc PAB = góc QAC
=>góc BAI = góc CAI
Vậy: AI là tia phân giác của góc BAC và góc MAN.