Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3a. Gọi H trung điểm BC, M là điểm thuộc đoạn BC và độ dài BM = a. Khi đó, giá trị (vectơ AB + vectơ AC)*vectơ AM là:
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3a. Gọi H trung điểm BC, M là điểm thuộc đoạn BC và độ dài BM = a. Khi đó, giá trị (vectơ AB + vectơ AC)*vectơ AM là:
Đáp án:
\[\frac{{27}}{2}{a^2}\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AM} \\
= \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} } \right).\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HM} } \right)\\
= \left( {2\overrightarrow {AH} + \left( {\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right)} \right).\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HM} } \right)\\
= 2\overrightarrow {AH} .\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HM} } \right)\\
= 2A{H^2} + 2\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HM} \\
= 2.{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}BC} \right)^2} + 0\,\,\,\,\left( {AH \bot HM \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HM} = 0} \right)\\
= 2.{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}.3a} \right)^2} = \frac{{27}}{2}{a^2}
\end{array}\)