Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H, gọi O là trung điểm của BC, I là trung điểm của AH.Chứng minh tam giác IEO và tam giác IFO vuông
không dùng tứ giác nội tiếp đâu nhé!!!
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H, gọi O là trung điểm của BC, I là trung điểm của AH.Chứng minh tam giác IEO và tam giác IFO vuông
không dùng tứ giác nội tiếp đâu nhé!!!
Lời giải:
Xét $\triangle BEC$ vuông tại $E$ có:
$O$ là trung điểm cạnh huyền $BC\quad (gt)$
$\Rightarrow OE = OB = OC = \dfrac12BC$
$\Rightarrow \triangle OEB$ cân tại $O$
$\Rightarrow \widehat{OEB}=\widehat{OBE}=\widehat{DBH}$
Xét $\triangle AEH$ vuông tại $E$ có:
$I$ là trung điểm cạnh huyền $AH\quad (gt)$
$\Rightarrow IE = IH = IA =\dfrac12AH$
$\Rightarrow \triangle IEH$ cân tại $I$
$\Rightarrow \widehat{IEH}=\widehat{IHE}$
mà $\widehat{IHE}=\widehat{DHB}$ (đối đỉnh)
nên $\widehat{IEH} = \widehat{DHB}$
Khi đó:
$\quad \widehat{OEB} +\widehat{IEH} = \widehat{DBH} +\widehat{DHB}$
$\Leftrightarrow \widehat{IEO}= 90^\circ\quad (\triangle DHB$ vuông tại $D)$
$\Leftrightarrow \triangle IEO$ vuông tại $E$
Chứng minh tương tự ta được:
$\widehat{IFO} = \widehat{IFH} +\widehat{OFC} = \widehat{DHC} + \widehat{DCH} = 90^\circ$
Do đó $\triangle IFO$ vuông tại $F$
Xét tứ giác BFEC có:
góc BFC = 90 độ
góc BEC = 90 độ
=> góc BFC = góc BEC (=90 độ )
mà 2 góc này cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90 độ
=> Tứ giác BFEC nội tiếp
=> OE=OB
=> tam giác EOB cân tại O
=> góc BEC = góc EBO
=> góc BEC= góc BFC(1)
=> góc BFC = góc EBO (2)
Xét tứ giác AEHF có :
AFC = 90 độ
AEB=90 độ
=> AFC+AEB=180 độ
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=> Tứ giác AEHF nội tiếp
<=> I là trung điểm của tâm đường tròn
=> Tam giác IEH cân tại I
=> $\left \{ {{góc IEH= góc IHE} \atop {góc IHE=góc BHD}} \right.$
=> góc IEH = góc BHD
=> góc BHD + góc EBO = 90 độ(3)
Từ (1),(2)và (3)
=> góc BEC+ góc IEH =90 độ
=> tam giác IEO vuông tại E
Chứng minh tương tự => tam giác IFO vuông tại F
Chúc bạn học tốt !!