Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. chứng minh rằng HA+HB+HC<2/3.(AB+BC+AC)
0 bình luận về “Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. chứng minh rằng HA+HB+HC<2/3.(AB+BC+AC)”
Đáp án
Qua H kẻ đường thẳng song song AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng song song AC cắt AB tại E. Ta có: Δ A D H = Δ H E A ( g . c . g ) ΔADH=ΔHEA(g.c.g) ⇒ A D = H E ; A E = H D ⇒AD=HE;AE=HD Xét Δ A H D ΔAHD có HA < HD + AD, do đó HA < AE + AD (1) Vì HE//AC, mà A C ⊥ B H ⇒ H E ⊥ B H AC⊥BH⇒HE⊥BH Xét tam giác vuông HBE có HB < BE (2) Vì HD//AB, mà A B ⊥ C H ⇒ H D ⊥ C H AB⊥CH⇒HD⊥CH Xét tam giác vuông HCD có HC < DC (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: HA + HB + HC < (AE + EB) + ( AD + DC) =AB + AC Vậy HA + HB + HC < AB + AC (4) Tương tự: HA + HB + HC < AB + BC (5) HA + HB + HC < AC + BC (6) Từ (4), (5), (6) suy ra 3(HA + HB + HC) < 2(AB + AC + BC Vậy HA + HB + HC < 2 3 ( A B + A C + B C
Đáp án
Qua H kẻ đường thẳng song song AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng song song AC cắt AB tại E. Ta có: Δ A D H = Δ H E A ( g . c . g ) ΔADH=ΔHEA(g.c.g) ⇒ A D = H E ; A E = H D ⇒AD=HE;AE=HD Xét Δ A H D ΔAHD có HA < HD + AD, do đó HA < AE + AD (1) Vì HE//AC, mà A C ⊥ B H ⇒ H E ⊥ B H AC⊥BH⇒HE⊥BH Xét tam giác vuông HBE có HB < BE (2) Vì HD//AB, mà A B ⊥ C H ⇒ H D ⊥ C H AB⊥CH⇒HD⊥CH Xét tam giác vuông HCD có HC < DC (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: HA + HB + HC < (AE + EB) + ( AD + DC) =AB + AC Vậy HA + HB + HC < AB + AC (4) Tương tự: HA + HB + HC < AB + BC (5) HA + HB + HC < AC + BC (6) Từ (4), (5), (6) suy ra 3(HA + HB + HC) < 2(AB + AC + BC Vậy HA + HB + HC < 2 3 ( A B + A C + B C