Cho tam giác nhọn ABC và một điểm P thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu của P trên các cạnh BC, AC, AB a) BD^2 + DC^2

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Áp dụng BĐT $: a² + b² ≥ \dfrac{(a + b)²}{2}$ 

$BD² + CD² ≥ \dfrac{(BD + DC)²}{2} = \dfrac{BC²}{2} (*)$

Dấu $’=’$ xảy ra khi $ BD = DC$ hay $B$ là trung điểm $BC$

b) Áp dụng Py ta go ta có:

$ DC² = PC² – PD² = PC² – (PB² – BD²) (1)$

$ EA² = PA² – PE² = PA² – (PC² – CE²) (2)$

$ FB² = PB² – PF² = PC² – (PA² – BF²) (3)$

$(1) + (2) + (3):$ và áp dụng $(*)$ ở câu a)

$ DC² + EA² + FB² = BD² + CE² + BF²$

$ ⇒ 2(DC² + EA² + FB²) = (BD² + DC²) + (CE² + CA²) + (BF² + FB²)$

$ ≥ \dfrac{BC²}{2} + \dfrac{CA²}{2} + \dfrac{AB²}{2} $ (không đổi)

Dấu $’=’$ xảy ra khi $ BD = DC; CE = EA; AF = FB$

$ ⇔ P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp$ΔABC$