Cho tam giác nhọn ABC và một điểm P thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu của P trên các cạnh BC, AC, AB
a) BD^2 + DC^2 >_ BC^2 /2
b) xác định vị trí của P trong tam giác ABC để tổng DC ^2 + EA^2 + FB^2 đạt giá trị nhỏ nhất
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Áp dụng BĐT $: a² + b² ≥ \dfrac{(a + b)²}{2}$
$BD² + CD² ≥ \dfrac{(BD + DC)²}{2} = \dfrac{BC²}{2} (*)$
Dấu $’=’$ xảy ra khi $ BD = DC$ hay $B$ là trung điểm $BC$
b) Áp dụng Py ta go ta có:
$ DC² = PC² – PD² = PC² – (PB² – BD²) (1)$
$ EA² = PA² – PE² = PA² – (PC² – CE²) (2)$
$ FB² = PB² – PF² = PC² – (PA² – BF²) (3)$
$(1) + (2) + (3):$ và áp dụng $(*)$ ở câu a)
$ DC² + EA² + FB² = BD² + CE² + BF²$
$ ⇒ 2(DC² + EA² + FB²) = (BD² + DC²) + (CE² + CA²) + (BF² + FB²)$
$ ≥ \dfrac{BC²}{2} + \dfrac{CA²}{2} + \dfrac{AB²}{2} $ (không đổi)
Dấu $’=’$ xảy ra khi $ BD = DC; CE = EA; AF = FB$
$ ⇔ P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp$ΔABC$