Cho tg abc có ba góc nhọn và cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. CMR:
a, tg befc là htc.
b, tg fehc là hbh.
c, tg aehf là hình thoi.
d, gọi m, n lần lượt là tđ các cạnh bh và ch. chứng tỏ: EMNF là hcn.
e, chứng tỏ: 2 tam giác aen và afm có cùng trọng tâm và trọng tâm này nằm trên đường thẳng ef.
f, AM cắt he tại d, an cắt hf tại i.gọi p và q lần lượt là td của tg BEM vf CFN. tg DPQI là hình tcan.
Đáp án:
a) xét tg ABC ta có
E là td AB (gt)
F là td AC (gt)
=> E là đường trung bình của ΔABC
=> EF//BC và EF= 1/2 BC
Mà EB=EA=AF=FC (AB=AC)
=> BEFC là hình thang cân
b) ta có EF // BC
=> EF//HC( HC thuộc BC)
Ta có EF=1/2 BC
=> EF = HC ( tg ABC cân tại A)
Xét tg FEHC ta có
EF=HC ( cmt)
EF//HC (cmt)
=> tg FEHC là hình bình hành
c.Ta có tg AEHF và tg AEHF là hình bình hành
Mà AE=AF=> tg AEHF là hình thoi
d.ta có M, N là td BH,HC (gt)
→MN là đường trung bình của tg ABH và tg ACH
→EM//FN(EM //AH)
=> tg EFNM và tg EFNM là hình bình hành
Mà FN⊥BC(FN//AH)
=> tg EFNM⊥BC(FN//AH)
=> tg EFNMlà hình chữ nhật
f) c/m htc giống câu a
Giải thích các bước giải:
a.Vì E, F là trung điểm AB,AC
$\rightarrow EF$ là đường trung bình $\Delta ABC\rightarrow EF//BC$
Mà $EB=EA=AF=FC(AB=AC)\rightarrow \Diamond EFCB$ là hình thang cân
b.Vì $EF//BC, EF=\dfrac{1}{2}BC=HC\rightarrow \Diamond FEHC$ là hình bình hành
c.Ta chứng minh được $\Diamond AEHF$ là hình bình hành
Mà $AE=AF\rightarrow \Diamond AEHF$ là hình thoi
d.Vì M, N là trung điểm BH,HC
$\rightarrow EM, EN$ là đường trung bình$\Delta ABH, \Delta CAH$
$\rightarrow EM//FN(// AH), EM=FN(=\dfrac{1}{2}AH)$
$\rightarrow \Diamond EFNM$ là hình bình hành
Mà $FN\perp BC(FN//AH)\rightarrow \Diamond EFNM$ là hình chữ nhật