Cho tổng gồm 2021 số hạng: S= $\frac{1}{4}$+ $\frac{2}{4²}$ +…+$\frac{2021}{4²⁰²¹}$ . Chứng minh S< $\frac{1}{2}$
Cho tổng gồm 2021 số hạng: S= $\frac{1}{4}$+ $\frac{2}{4²}$ +…+$\frac{2021}{4²⁰²¹}$ . Chứng minh S< $\frac{1}{2}$
Đáp án:
S<1/2
Giải thích các bước giải:
Ta có: S=1/4+2/4^2+…+2021/4^2021
⇒4S=1+2/4+…+2021/4^2020
⇒4S−S=(1+2/4+…+2021/4^2020)
⇒3S=1+1/4+1/4^2+…+1/4^2020−2021/4^2021
⇒3S<1+1/4+1/4^2+…+1/4^2020(1)
Đặt A=1+1/4+1/4^2+…+1/4^2020
⇒4A=4+1+1/4+…+1/4^2019
⇒4A−A=(4+1+1/4+…+1/4^2019)−(1+1/4+1/4^2+…+1/4^2020)
⇒A=4/3−1/4^2020.3
⇒A<4/3(2)
Từ (1) và (2)⇒3S<4/3(2)
⇒S<4/9<4/8=12
⇒S<1/2
Giải thích các bước giải:
Ta có: `S = 1/4 + 2/4^2 + … + 2021/4^2021`
`=> 4S = 1 + 2/4 + … + 2021/4^2020`
`=> 4S – S = (1 + 2/4 + … + 2021/4^2020) – (1/4 + 2/4^2 + … + 2021/4^2021)`
`=> 3S = 1 + 1/4 + 1/4^2 + … + 1/4^2020 – 2021/4^2021`
`=> 3S < 1 + 1/4 + 1/4^2 + … + 1/4^2020 (1)`
Đặt `A = 1 + 1/4 + 1/4^2 + … + 1/4^2020`
`=> 4A = 4 + 1 + 1/4 + … + 1/4^2019`
`=> 4A – A = (4 + 1 + 1/4 + … + 1/4^2019) – (1 + 1/4 + 1/4^2 + … + 1/4^2020)`
`=> 3A = 4 – 1/4^2020`
`=> A = 4/3 – 1/4^2020 . 3`
`=> A < 4/3 (2)`
Từ `(1)` và `(2) => 3S < 4/3`
`=> S < 4/9 < 4/8 = 1/2`
`=> S < 1/2 (đpcm)`