Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là trung điểm của AD, F là điểm đối xứng với D qua B. Tính diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (EFC)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là trung điểm của AD, F là điểm đối xứng với D qua B. Tính diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (EFC)
Giải thích các bước giải:
Gọi I là giao điểm của FE và AB
Suy ra thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (EFC) là tam giác ICE
Áp dụng định lí Mê – nê – na -uýt cho tam ABD có F,I,E thẳng hàng ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{{AI}}{{IB}}.\frac{{BF}}{{FD}}.\frac{{DE}}{{EA}} = 1\\
\Leftrightarrow \frac{{AI}}{{IB}}.\frac{1}{2}.1 = 1\\
\Leftrightarrow \frac{{AI}}{{IB}} = 1
\end{array}\]
ABCD là tứ diện đều cạnh a nên ta có:
\[\begin{array}{l}
CE = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\\
E{I^2} = A{E^2} + A{I^2} – 2AE.AI.\cos 60^\circ \\
\Leftrightarrow E{I^2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)^2} – 2.\frac{a}{2}.\frac{{2a}}{3}.\cos 60\\
\Rightarrow EI = \frac{{\sqrt {13} }}{6}a\\
C{I^2} = C{A^2} + A{I^2} – 2CA.AI.\cos 60\\
\Leftrightarrow C{I^2} = {a^2} + {\left( {\frac{2}{3}a} \right)^2} – 2a.\frac{2}{3}a.\frac{1}{2}\\
\Rightarrow CI = \frac{{\sqrt 7 }}{3}a\\
p = \frac{{CI + IE + CE}}{2}\\
\Rightarrow {S_{CIE}} = \sqrt {p\left( {p – CI} \right)\left( {p – IE} \right)\left( {p – CE} \right)} = \frac{{\sqrt {35} }}{{24}}
\end{array}\]