Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
a) Gọi E, F, G, H tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.
b) Gọi I, J, K, L tương ứng là trung điểm các cạnh EF, FG, GH, HE nói ở câu a). Chứng minh rằng IJKL là hình thoi.
c) Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm các cạnh IJ, JK, KL, LI nói ở câu b). Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.
d) Khi AC vuông góc với BD và AC=BD thì các tứ giác EFGH, IJKL, MNPQ là hình gì? Vì sao?
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Đặt O là giao điểm của AD và BD
ob = od ( b và d đối xứng nhau qua ac)
=> o là trung điểm ab
oa = oc ( c và a đối xứng nhau qua bd )
=>o là tđ ac
=> hình bình hành efhg, hbh abcd (1) ( tứ giác có 2 đ chéo cắt nhau tại td mđ là hbh)
mà AD vuông góc BD ( gt)
=> o1 = o2 = 90 độ(2)
hình chữ nhật efhg( hbh có 1 góc vuông là hcn)
b) vì o là giao điểm ( câu a)
mà IK e bd, lj e ac => o là giao điểm của ik và bd
vì ad vuông góc bd (gt)
=> ik vuông góc lj
=> hình thoi IJKL( hbh có 2 đchéo v góc vs nhau là hthoi)
c)
kẻ 2 đường chéo LJ và IK của hình tthoi
xét tam giác IJK cân tại J (do IJ=JK)có MN là đường trung bình (do M,N, là trung điểm của IJ và LJ)
suy ra MN//IK và MN=1/2 IK(1)
chứng minh tương tự vs tam giác IKL suy ra QP//IK và QP=1/2 IK
từ đó suy ra MN//QP và MN=QP
suy ra MNPQ là hình bình hành
do LJ vuông góc vs IK mà QP//IK suy ra QP vuông góc với LJ
mà LJ//PN (CMTT 1)suy ra QP vuông góc vs PN
suy ra MNPQ là hcn
xét hcn MNPQ có QP=1/2IK ,PN=1/2 LJ mà IK=LJ suy ra QP=PN suy ra MNPQ là hình vuông