Cho tứ giác ABCD gọi I là giao điểm của 2 đường chéo. C/m IA+IB+IC+ID bé hơn chu vi và lớp hơn 1/2 của tứ giác đó
Cho tứ giác ABCD gọi I là giao điểm của 2 đường chéo. C/m IA+IB+IC+ID bé hơn chu vi và lớp hơn 1/2 của tứ giác đó
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng tính chất : tổng 2 cạnh trong 1 tam giác lớn hơn cạnh thứ 3 ta có:
$ AB + BC > AC (1)$
$ BC + CD > BD (2)$
$ CD + DA > AC (3)$
$ DA + AB > BD (4)$
$(1) + (2) + (3) + (4) : 2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD) $
$ ⇔ AB + BC + CD + DA > AC + BD = IA + IB + IC + ID (*)$
$ IA + IB > AB (5)$
$ IB + IC > BC (6)$
$ IC + ID > CD (7)$
$ ID + IA > DA (8)$
$(5) + (6) + (7) + (8) : 2(IA + IB + IC + ID) > AB + BC + CD + DA$
$ ⇔ IA + IB + IC + ID > \dfrac{1}{2}( AB + BC + CD + DA) (**)$
Từ $(*); (*) : \dfrac{1}{2}( AB + BC + CD + DA) < IA + IB + IC + ID < AB + BC + CD + DA (đpcm)$