Cho $x$ và $y$ thỏa mãn $x^2-xy+y^2=3$. Tìm GTLN và GTNN của $M=x^2+y^2$

0 bình luận về “Cho $x$ và $y$ thỏa mãn $x^2-xy+y^2=3$. Tìm GTLN và GTNN của $M=x^2+y^2$”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Tìm $GTNN:$

   $ (x + y)² ≥ 0 ⇔ x² + y² ≥ – 2xy (*)$

   $ ⇔ 2(x² + y²) ≥ (x – y)² ⇔ 2M – (x – y)² ≥ 0(1)$

   $ x² – xy + y² = 3 ⇔ 2x² + 2y² – 2xy = 6 ⇔ M + (x – y)² = 6 (2)$

   $(1) + (2) : 3M ≥ 6 ⇔ M ≥ 2$

   Vậy $GTNN$ của $M = 2 $ khi xảy ra dấu $”=”$ ở $(*)$

   $ ⇔ x + y = 0 ⇔ x = – y = ± 1$

   Tìm $GTLN:$

   $ x² – xy + y² = 3 ⇔ x² + y² = 3 + xy$

   $ ⇔ 2M = 6 + 2xy ≤ 6 + x² + y² = 6 + M (**)$

   $ ⇔ M ≤ 6$

   Vậy $GTLN$ của $M = 6 $ khi xảy ra dấu $”=”$ ở $(**)$

   $ ⇔ x = y = ± \sqrt[]{3}$

    

   Bình luận