Cho x,y>0 thỏa mãn x+y<=1. tìm giá trị nhỏ nhất của P=(1/x+1/y).căn(1+x^2.y^2) 29/08/2021 Bởi Piper Cho x,y>0 thỏa mãn x+y<=1. tìm giá trị nhỏ nhất của P=(1/x+1/y).căn(1+x^2.y^2)
$F(x,y)_{}$ = $\bigg(x+\dfrac{1}{x}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{1}{y}\bigg)^2$ = $x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+\dfrac{y^2}+\dfrac{1}{y^2}+2$ = $4+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg)$ Mà: $(x-y)^2 ≥ 0$ ( gt ) Nên: $x^2+y^2 ≥ 2xy$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}2.(x^2+y^2)≥(x+y)^2\\(x+y)^2≥4xy\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2≥\dfrac{(x+y)^2}{2} = \dfrac{1}{2}\\xy ≤ \dfrac{(x+y)^2}{4} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$ Áp dụng Bất Đẳng Thức AM – GM cho hai số Ta được: $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{1}{x^2y^2}} = \dfrac{2}{xy} ≥ \dfrac{2}{\dfrac{1}{4}} = 8$ Khi đó: $F(x,y) = 4+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg) ≥ 4+\dfrac{1}{2}+8 = \dfrac{25}{2}$ Và khi dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\dfrac{1}{2}$ Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{25}{2}$ tại $x=y=\dfrac{1}{2}$ Bạn Tham Khảo Nhoa CHÚC BẠN HỌC TỐT ^^ # NO COPYNPQAn Bình luận
Đáp án: Ta có : `P = (1/x+ 1/y)\sqrt{1 + x^2y^2} >= 2.\sqrt{1/(xy)}.\sqrt{1 + x^2y^2} = 2\sqrt{(1 + x^2y^2)/(xy)}` `= 2\sqrt{1/(xy) + xy}` `= 2\sqrt{1/(xy) + 16xy – 15xy} ≥ 2\sqrt{2.\sqrt{1/(xy) . 16xy} – 15 (x+ y)^2/4} = 2\sqrt{2.4 – 15 . 1^2/4} = \sqrt{17}` Dấu “=” xảy ra `<=> x = y= 1/2` Vậy $Min_{P}$ là `\sqrt{17} <=> x = y = 1/2` Giải thích các bước giải: Bình luận
$F(x,y)_{}$ = $\bigg(x+\dfrac{1}{x}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{1}{y}\bigg)^2$
= $x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+\dfrac{y^2}+\dfrac{1}{y^2}+2$
= $4+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg)$
Mà: $(x-y)^2 ≥ 0$ ( gt )
Nên: $x^2+y^2 ≥ 2xy$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}2.(x^2+y^2)≥(x+y)^2\\(x+y)^2≥4xy\end{array} \right.$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2≥\dfrac{(x+y)^2}{2} = \dfrac{1}{2}\\xy ≤ \dfrac{(x+y)^2}{4} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$
Áp dụng Bất Đẳng Thức AM – GM cho hai số
Ta được: $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{1}{x^2y^2}} = \dfrac{2}{xy} ≥ \dfrac{2}{\dfrac{1}{4}} = 8$
Khi đó:
$F(x,y) = 4+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg) ≥ 4+\dfrac{1}{2}+8 = \dfrac{25}{2}$
Và khi dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\dfrac{1}{2}$
Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{25}{2}$ tại $x=y=\dfrac{1}{2}$
Bạn Tham Khảo Nhoa
CHÚC BẠN HỌC TỐT ^^
# NO COPY
NPQAn
Đáp án:
Ta có :
`P = (1/x+ 1/y)\sqrt{1 + x^2y^2} >= 2.\sqrt{1/(xy)}.\sqrt{1 + x^2y^2} = 2\sqrt{(1 + x^2y^2)/(xy)}`
`= 2\sqrt{1/(xy) + xy}`
`= 2\sqrt{1/(xy) + 16xy – 15xy} ≥ 2\sqrt{2.\sqrt{1/(xy) . 16xy} – 15 (x+ y)^2/4} = 2\sqrt{2.4 – 15 . 1^2/4} = \sqrt{17}`
Dấu “=” xảy ra `<=> x = y= 1/2`
Vậy $Min_{P}$ là `\sqrt{17} <=> x = y = 1/2`
Giải thích các bước giải: