Cho x,y >0 và x-y $\geq$ 1 Tìm GTLN: P = $\frac{4}{x}$ – $\frac{1}{y}$ 01/11/2021 Bởi Caroline Cho x,y >0 và x-y $\geq$ 1 Tìm GTLN: P = $\frac{4}{x}$ – $\frac{1}{y}$
Đáp án: $: GTLN$ của $P = 1$ khi $x = 2; y = 1$ Giải thích các bước giải: $x > 0; y > 0$ $x – y ≥ 1 ⇔ y – x ≤ – 1 (1)$ $x – y ≥ 1 ⇔ xy – y² ≥ y ⇔ xy ≥ y² + y ⇔ \frac{1}{xy} ≤ \frac{1}{y² + y} (2) $ $ P = \frac{4}{x} – \frac{1}{y} = \frac{4y – x}{xy} = \frac{3y + (y – x)}{xy} ≤ \frac{3y – 1}{xy} ≤ \frac{3y – 1}{y² + y} = \frac{y² + y – (y² – 2y + 1)}{y² + y} = 1 – \frac{(y – 1)²}{y² + y} ≤ 1 (3) $ Vậy $: GTLN$ của $P = 1$ khi đồng thời xảy ra dấu = ở $(1); (2); (3)$ $(1); (2) ⇔ x – y = 1 ⇔ x = y + 1$ $ (3) ⇔ y – 1 = 0 ⇔ y = 1 ⇒ x = 2$ Bình luận
Đáp án: $: GTLN$ của $P = 1$ khi $x = 2; y = 1$
Giải thích các bước giải: $x > 0; y > 0$
$x – y ≥ 1 ⇔ y – x ≤ – 1 (1)$
$x – y ≥ 1 ⇔ xy – y² ≥ y ⇔ xy ≥ y² + y ⇔ \frac{1}{xy} ≤ \frac{1}{y² + y} (2) $
$ P = \frac{4}{x} – \frac{1}{y} = \frac{4y – x}{xy} = \frac{3y + (y – x)}{xy} ≤ \frac{3y – 1}{xy} ≤ \frac{3y – 1}{y² + y} = \frac{y² + y – (y² – 2y + 1)}{y² + y} = 1 – \frac{(y – 1)²}{y² + y} ≤ 1 (3) $
Vậy $: GTLN$ của $P = 1$ khi đồng thời xảy ra dấu = ở $(1); (2); (3)$
$(1); (2) ⇔ x – y = 1 ⇔ x = y + 1$
$ (3) ⇔ y – 1 = 0 ⇔ y = 1 ⇒ x = 2$