cho x +y = 1 tìm gá trị nhỏ nhất của biểu thức a = x mũ 3 + y mũ 3 28/07/2021 Bởi Rylee cho x +y = 1 tìm gá trị nhỏ nhất của biểu thức a = x mũ 3 + y mũ 3
$a=x^3+y^3$ $=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ $=x^2-xy+y^2$ (Do $x+y=1$) $=(x+y)^2-3xy$ $=1-3xy$ Ta có: $x+y≥2\sqrt[]{xy}$ (Bất đẳng thức $Cô-si$) (Trường hợp $x,y>0$) $↔ \dfrac{x+y}{2}≥\sqrt[]{xy}$ $→ xy≤\dfrac{(x+y)^2}{4}$ $↔ xy≤\dfrac{1}{4}$ $↔ -3xy≥-\dfrac{3}{4}$ $↔ 1-3xy≥\dfrac{1}{4}$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $a$ là $\dfrac{1}{4}$ khi $x=y=\dfrac{1}{2}$ Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: có x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y² ) = (x² – xy + y² ) vì x + y = 1 có x + y = 1 => y = 1- x => x³ + y³ = x² -x(1 – x ) + (1 – x)² = 3x² – 3x + 1 = 3(x² – x + 1/3 ) = 3(x² -x + 1/4 ) + 1/4 = 3(x – 1/2 )² + 1/4 có 3(x – 1/2 )² ≥ 0 => 3(x – 1/2 )² – 1/4 ≥ 1/4 hay min a = 1/4 dấu “=” xảy ra <=> x = y = 1/2 Bình luận
$a=x^3+y^3$
$=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
$=x^2-xy+y^2$ (Do $x+y=1$)
$=(x+y)^2-3xy$
$=1-3xy$
Ta có:
$x+y≥2\sqrt[]{xy}$ (Bất đẳng thức $Cô-si$) (Trường hợp $x,y>0$)
$↔ \dfrac{x+y}{2}≥\sqrt[]{xy}$
$→ xy≤\dfrac{(x+y)^2}{4}$
$↔ xy≤\dfrac{1}{4}$
$↔ -3xy≥-\dfrac{3}{4}$
$↔ 1-3xy≥\dfrac{1}{4}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $a$ là $\dfrac{1}{4}$ khi $x=y=\dfrac{1}{2}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
có x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y² ) = (x² – xy + y² ) vì x + y = 1
có x + y = 1
=> y = 1- x
=> x³ + y³ = x² -x(1 – x ) + (1 – x)² = 3x² – 3x + 1 = 3(x² – x + 1/3 ) = 3(x² -x + 1/4 ) + 1/4
= 3(x – 1/2 )² + 1/4
có 3(x – 1/2 )² ≥ 0 => 3(x – 1/2 )² – 1/4 ≥ 1/4
hay min a = 1/4 dấu “=” xảy ra <=> x = y = 1/2