Cho x+y=1 tìm GTNN của biểu thức: M=(x + 1/x)^2 + (y + 1/y)^2 Giúp e với e cần gấp ~ 06/11/2021 Bởi Anna Cho x+y=1 tìm GTNN của biểu thức: M=(x + 1/x)^2 + (y + 1/y)^2 Giúp e với e cần gấp ~
Đáp án: $M_{min} = \dfrac{25}{2}$ tại $x=y=0,5$ Giải thích các bước giải: $M= \bigg(x+\dfrac{1}{x}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{1}{y}\bigg)^2$ $ = x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+\dfrac{y^2}+\dfrac{1}{y^2}+2$ $ = 4+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg)$ Vì $(x-y)^2 ≥ 0 $ $⇔ x^2+y^2 ≥ 2xy$ $⇔ \left\{ \begin{array}{l}2.(x^2+y^2)≥(x+y)^2\\(x+y)^2≥4xy\end{array} \right.$ $⇔ \left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2≥\dfrac{(x+y)^2}{2} = \dfrac{1}{2}\\xy ≤ \dfrac{(x+y)^2}{4} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$ Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho hai số ta được : $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{1}{x^2y^2}} = \dfrac{2}{xy} ≥ \dfrac{2}{\dfrac{1}{4}} = 8$ Do đó : $M = 4+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg) ≥ 4+\dfrac{1}{2}+8 = \dfrac{25}{2}$ Dấu “=” xảy ra $⇔x=y=\dfrac{1}{2}$ Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{25}{2}$ tại $x=y=\dfrac{1}{2}$ Bình luận
Đáp án: $M\ge \dfrac{25}2$ Giải thích các bước giải: Ta có :$M=(x+\dfrac1x)^2+(y+\dfrac1y)^2$ $\to M\ge \dfrac12(x+\dfrac1x+y+\dfrac1y)^2$ $\to M\ge \dfrac12((x+y)+(\dfrac1x+\dfrac1y))^2$ $\to M\ge \dfrac12((x+y)+\dfrac{4}{x+y})^2$ $\to M\ge \dfrac12(1+4)^2$ $\to M\ge \dfrac{25}2$ Dấu = xảy ra khi $x=y=\dfrac12$ Bình luận
Đáp án: $M_{min} = \dfrac{25}{2}$ tại $x=y=0,5$
Giải thích các bước giải:
$M= \bigg(x+\dfrac{1}{x}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{1}{y}\bigg)^2$
$ = x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+\dfrac{y^2}+\dfrac{1}{y^2}+2$
$ = 4+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg)$
Vì $(x-y)^2 ≥ 0 $
$⇔ x^2+y^2 ≥ 2xy$
$⇔ \left\{ \begin{array}{l}2.(x^2+y^2)≥(x+y)^2\\(x+y)^2≥4xy\end{array} \right.$
$⇔ \left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2≥\dfrac{(x+y)^2}{2} = \dfrac{1}{2}\\xy ≤ \dfrac{(x+y)^2}{4} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho hai số ta được :
$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{1}{x^2y^2}} = \dfrac{2}{xy} ≥ \dfrac{2}{\dfrac{1}{4}} = 8$
Do đó :
$M = 4+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg) ≥ 4+\dfrac{1}{2}+8 = \dfrac{25}{2}$
Dấu “=” xảy ra $⇔x=y=\dfrac{1}{2}$
Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{25}{2}$ tại $x=y=\dfrac{1}{2}$
Đáp án: $M\ge \dfrac{25}2$
Giải thích các bước giải:
Ta có :
$M=(x+\dfrac1x)^2+(y+\dfrac1y)^2$
$\to M\ge \dfrac12(x+\dfrac1x+y+\dfrac1y)^2$
$\to M\ge \dfrac12((x+y)+(\dfrac1x+\dfrac1y))^2$
$\to M\ge \dfrac12((x+y)+\dfrac{4}{x+y})^2$
$\to M\ge \dfrac12(1+4)^2$
$\to M\ge \dfrac{25}2$
Dấu = xảy ra khi $x=y=\dfrac12$