Cho x,y >1. Tìm MinA= $\frac{x^2}{y-1}$ + $\frac{y^2}{x-1}$ Cần trc 6h30p sáng:333

$ A  = \dfrac{x^2}{y-1}+ \dfrac{y^2}{x-1}$

Vì $x,y>1$ nên áp dụng BĐT Cauchy ta có

$ A = \dfrac{x^2}{y-1}+ \dfrac{y^2}{x-1} \ge 2 \sqrt{ \dfrac{x^2}{y-1} * \dfrac{y^2}{x-1} } = 2\sqrt{\dfrac{x^2y^2}{(x-1)(y-1)}}$

$ A \ge \dfrac{2xy}{\sqrt{(x-1)(y-1)}} $

Ta có $ a+ b \ge 2\sqrt{ab}$

$ \to \sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$

Áp dụng ta có $\sqrt{x-1} \le \dfrac{x-1+1}{2} =\dfrac{x}{2}$

$ \sqrt{y-1} \le \dfrac{y-1+1}{2} =\dfrac{y}{2}$

$\to \sqrt{(x-1)(y-1)} \le \dfrac{xy}{4}$

$ \to \dfrac{2xy}{\sqrt{(x-1)(y-1)}} \ge 8$

Vậy $A_{min} = 8$ ; Dấu $=$ xảy ra khi $ x -1 = 1 ; y -1 = 1 \to x = y = 2$