Cho x,y > 4 Tìm GTNN P = $\frac{x}{\sqrt[]{y} -2 }$ + $\frac{y}{\sqrt[]{x} -2 }$ 03/09/2021 Bởi Reese Cho x,y > 4 Tìm GTNN P = $\frac{x}{\sqrt[]{y} -2 }$ + $\frac{y}{\sqrt[]{x} -2 }$
Đáp án: Giải thích các bước giải: $ x > 4; y > 4$ Đặt $ : a = \sqrt[]{x} – 2 > 0; b = \sqrt[]{y} – 2 > 0$ $ ⇒ x = (a + 2)²; y = (b + 2)²$ $ P = \frac{(a + 2)²}{b} + \frac{(b + 2)²}{a} $ $ = \frac{a²}{b} + \frac{b²}{a} + 4(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + 4(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$ $ ≥ 2\sqrt[]{\frac{a²}{b}.\frac{b²}{a}} + 4.2\sqrt[]{\frac{1}{b}.\frac{1}{a}} + 4.2\sqrt[]{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}$ $ ≥ 2\sqrt[]{ab} + 4.2\sqrt[]{\frac{1}{ab}} + 8 $ $ = 2(\sqrt[]{ab} + 4\sqrt[]{\frac{1}{ab}}) + 8 $ $ = 2(2\sqrt[]{\sqrt[]{ab}.\frac{4}{\sqrt[]{ab}}}) + 8 $ $ = 2.2.2 + 8 = 16$ Vậy $GTNN$ của $P = 16$ xảy ra khi : $a = b; \sqrt[]{ab} = 2 ⇔ a = b = 2 ⇔ x = y = 16$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ x > 4; y > 4$
Đặt $ : a = \sqrt[]{x} – 2 > 0; b = \sqrt[]{y} – 2 > 0$
$ ⇒ x = (a + 2)²; y = (b + 2)²$
$ P = \frac{(a + 2)²}{b} + \frac{(b + 2)²}{a} $
$ = \frac{a²}{b} + \frac{b²}{a} + 4(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + 4(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$
$ ≥ 2\sqrt[]{\frac{a²}{b}.\frac{b²}{a}} + 4.2\sqrt[]{\frac{1}{b}.\frac{1}{a}} + 4.2\sqrt[]{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}$
$ ≥ 2\sqrt[]{ab} + 4.2\sqrt[]{\frac{1}{ab}} + 8 $
$ = 2(\sqrt[]{ab} + 4\sqrt[]{\frac{1}{ab}}) + 8 $
$ = 2(2\sqrt[]{\sqrt[]{ab}.\frac{4}{\sqrt[]{ab}}}) + 8 $
$ = 2.2.2 + 8 = 16$
Vậy $GTNN$ của $P = 16$ xảy ra khi :
$a = b; \sqrt[]{ab} = 2 ⇔ a = b = 2 ⇔ x = y = 16$