Cho x² – y = a, y² – z = b và z² – x = c (a,b,c là các hằng số).
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y, z:
P = x³(z – y²) + y³(x – z²) + z³(y – x²) + xyz(xyz -1)
Cho x² – y = a, y² – z = b và z² – x = c (a,b,c là các hằng số).
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y, z:
P = x³(z – y²) + y³(x – z²) + z³(y – x²) + xyz(xyz -1)
Ta có: P = x³(z-y²) + y³(x-z²) + z³(y-x²) + xyz(xyz-1)
= -x³(y²-z) + xy³ – y³z² + yz³ – x²z³ + x²y²z² -xyz
= -x³(y²-z) + (xy³-xyz) – (y³z²-yz³) + (x²y²z²-x²z³)
= -x³(y²-z) + xy(y²-z) – yz²(y²-z) + x²z²(y²-z)
= (y²-z)( -x³+xy-yz²+x²z²)
= (y²-z)[(x²z²-x³) – (yz²-xy)]
= (y²-z)[x²(z²-x)-y(z²-x)]
= (y²-z)(z²-x)(x²-y)
= b.c.a = abc
Vậy giá trị của biểu thức P=x³(z-y²)+y³(x-z²)+z³(y-x²)+xyz(xyz-1) không phụ thuộc vào giá trị của biến x, y, z.