Cho x , y > hoặc = 0 CM rằng 2 . 1/x+1/y > hoặc = 4/(x+y) 3 . 1/xy > hoặc = 4 / (x+y)^2 02/11/2021 Bởi Margaret Cho x , y > hoặc = 0 CM rằng 2 . 1/x+1/y > hoặc = 4/(x+y) 3 . 1/xy > hoặc = 4 / (x+y)^2
Câu `1:` Ta đặt `x=a,b=y` sau đó áp dụng `1` trong `4` cách sau: Cách 1: Ta có `BĐT` sau: `\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{(a+b)^2}{x+y}` `(∀x,y>0)` Chứng minh: Giả sử `\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{(a+b)^2}{x+y}` `(∀x,y>0)` `⇔\frac{a^2.y}{x.y}+\frac{b^2.x}{y.x}\geq\frac{a^2+2ab+b^2}{x+y}` `⇔\frac{a^2y+b^2x}{x.y}\geq\frac{a^2+2ab+b^2}{x+y}` `⇔(a^2y+b^2x)(x+y) \geq(a^2+2ab+b^2).xy` `⇔a^2y^2+b^2x^2-2ab.xy\geq0` `⇔(ay-bx)^2\geq0` ( giả sử đúng ) Dấu `”=”` xảy ra khi `ay = bx⇔\frac{a}{x}=\frac{b}{y}.“(∀x,y>0)` Áp dụng điều chứng minh trên ta có: `A=1/b+1/b` `⇔A=1^2/b+1^2/b\ge\frac{(1+1)^2}{a+b}=\frac{2^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}.` Dấu `”=”` xảy ra khi `1/a = 1/b⇔a=b.“(∀a,b>0)` Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ”=” xảy ra khi `a=b.` Cách 2: Giả sử bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương `a,b` `1/a + 1/b \ge \frac{4}{a+b}` `⇔ \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} \ge \frac{4}{a+b}` `⇔ \frac{a+b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}` `⇔ (a+b)(a+b) \ge 4ab` `⇔ (a+b)^2 \ge 4ab` `⇔ a^2+2ab+b^2 \ge 4ab` `⇔ a^2+2ab+b^2 – 4ab \ge 0` `⇔ a^2 – 2ab+b^2 \ge 0` `⇔ (a-b)^2 \ge 0` (luôn đúng ⇒ giả sử đúng ) Dấu `”=”` xảy ra khi `(a-b)^2⇔a-b=0⇔a=b.“(∀x,y>0)` Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ”=” xảy ra khi `a=b.` Cách 3: Ta có: `(a-b)^2 \ge 0 ` `⇔a^2-2ab+b^2 \ge 2ab` `⇔a^2+b^2 \ge 2ab` `⇔a^2+2ab+b^2 \ge 2ab+2ab` `⇔(a+b)^2\ge4ab` `⇔ (a+b)^2. \frac{1}{ab.(a+b)}\ge4ab. \frac{1}{ab.(a+b)}` `⇔ \frac{(a+b)^2}{ab.(a+b)} \ge \frac{4ab}{ab.(a+b)}` `⇔ \frac{a+b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}` `⇔ \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}` `⇔ 1/a + 1/b \ge \frac{4}{a+b}` $(đpcm).$ Dấu `”=”` xảy ra khi `a=b.“(∀x,y>0)` Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ”=” xảy ra khi `a=b.` Cách 4: Ta có: `a^2-2ab+b^2\ge 0 ` `⇔a^2+b^2\ge 2ab ` `⇔ ab(a^2+b^2)\ge 2ab.ab ` `⇔ a^3b+ab^3 \ge 2a^2b^2. ` `(1/a-1/b)^2 \ge 0 ` `⇔ 1/a^2 – \frac{2}{ab} + 1/b^2 \ge 0 ` `⇔ 1/a^2 + 1/b^2 \ge \frac{2}{ab}. ` `⇔(1/a^2 + 1/b^2). \frac{1}{ab}\ge \frac{2}{ab}. \frac{1}{ab}` `⇔ \frac{1}{a^3b}+ \frac{1}{ab^3}\ge \frac{2}{a^2b^2} ` `⇔ \frac{1}{a^2b^2}.(1/a+ 1/b) \ge \frac{2.2}{2a^2b^2}` Lại có: ` a^3b+ab^3 \ge 2a^2b^2 ⇒ \frac{2.2}{2a^2b^2} \ge \frac{2.2}{a^3b+ab^3}.` `⇒\frac{1}{a^2b^2}.(1/a+ 1/b) \ge \frac{2.2}{a^3b+ab^3}` `⇔ \frac{1}{a^2b^2}.(1/a+ 1/b) \ge \frac{1}{a^2b^2}.\frac{4}{a+b}. ` `⇔ 1/a + 1/b \ge \frac{4}{a+b}` $(đpcm).$ Dấu `”=”` xảy ra khi `a=b.“(∀x,y>0)` Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ”=” xảy ra khi `a=b.` Câu `2:` `\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{(x+y)^2}` Chứng minh: Ta có: hằng đẳng thức: `(x-y)^2\ge0` `⇔x^2-2xy+y^2\ge0` `⇔x^2-2xy+4xy+y^2\ge0+4xy` `⇔x^2+2xy+y^2\ge4xy` `⇔(x+y)^2\ge4xy` `⇔4:(x+y)^2\le4:4xy` `⇔4/{(x+y)^2}\le1/{xy}(dpcm).` Dấu ”=” xảy ra khi `x=y.` Vậy `\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{(x+y)^2}.`Dấu ”=” xảy ra khi `x=y.` Bình luận
Giải thích các bước giải: \(2.\) \(\begin{array}{l}\dfrac 1x+\dfrac 1y\geqslant \dfrac 4{x+y}\ (1)\end{array}\) Vì \(x,y >0\) nên \((1)⇔\dfrac{x+y}{xy}\geqslant \dfrac 4{x+y}\\⇔(x+y)^2\geqslant 4xy\\ ⇔ x^2+y^2+2xy\geqslant 4xy\\ ⇔ x^2+y^2-2xy\geqslant 0\\ ⇔ (x-y)^2\geqslant 0 \ (\star )\) Vì \((\star)\) luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh \(3.\) \(\dfrac 1{xy}\geqslant \dfrac{4}{(x+y)^2}\ (2)\) Vì \(x,y>0\) nên \((2)⇔ (x+y)^2\geqslant 4xy\\ ⇔ x^2+y^2+2xy\geqslant 4xy\\ ⇔ x^2+y^2-2xy\geqslant 0\\ ⇔ (x-y)^2\geqslant 0 \ (\star\star) \) Vì \((\star\star)\) luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh Bình luận
Câu `1:`
Ta đặt `x=a,b=y` sau đó áp dụng `1` trong `4` cách sau:
Cách 1:
Ta có `BĐT` sau: `\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{(a+b)^2}{x+y}` `(∀x,y>0)`
Chứng minh:
Giả sử `\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{(a+b)^2}{x+y}` `(∀x,y>0)`
`⇔\frac{a^2.y}{x.y}+\frac{b^2.x}{y.x}\geq\frac{a^2+2ab+b^2}{x+y}`
`⇔\frac{a^2y+b^2x}{x.y}\geq\frac{a^2+2ab+b^2}{x+y}`
`⇔(a^2y+b^2x)(x+y) \geq(a^2+2ab+b^2).xy`
`⇔a^2y^2+b^2x^2-2ab.xy\geq0`
`⇔(ay-bx)^2\geq0` ( giả sử đúng )
Dấu `”=”` xảy ra khi `ay = bx⇔\frac{a}{x}=\frac{b}{y}.“(∀x,y>0)`
Áp dụng điều chứng minh trên ta có:
`A=1/b+1/b`
`⇔A=1^2/b+1^2/b\ge\frac{(1+1)^2}{a+b}=\frac{2^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}.`
Dấu `”=”` xảy ra khi `1/a = 1/b⇔a=b.“(∀a,b>0)`
Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ”=” xảy ra khi `a=b.`
Cách 2:
Giả sử bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương `a,b`
`1/a + 1/b \ge \frac{4}{a+b}`
`⇔ \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} \ge \frac{4}{a+b}`
`⇔ \frac{a+b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}`
`⇔ (a+b)(a+b) \ge 4ab`
`⇔ (a+b)^2 \ge 4ab`
`⇔ a^2+2ab+b^2 \ge 4ab`
`⇔ a^2+2ab+b^2 – 4ab \ge 0`
`⇔ a^2 – 2ab+b^2 \ge 0`
`⇔ (a-b)^2 \ge 0` (luôn đúng ⇒ giả sử đúng )
Dấu `”=”` xảy ra khi `(a-b)^2⇔a-b=0⇔a=b.“(∀x,y>0)`
Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ”=” xảy ra khi `a=b.`
Cách 3:
Ta có: `(a-b)^2 \ge 0 `
`⇔a^2-2ab+b^2 \ge 2ab`
`⇔a^2+b^2 \ge 2ab`
`⇔a^2+2ab+b^2 \ge 2ab+2ab`
`⇔(a+b)^2\ge4ab`
`⇔ (a+b)^2. \frac{1}{ab.(a+b)}\ge4ab. \frac{1}{ab.(a+b)}`
`⇔ \frac{(a+b)^2}{ab.(a+b)} \ge \frac{4ab}{ab.(a+b)}`
`⇔ \frac{a+b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}`
`⇔ \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}`
`⇔ 1/a + 1/b \ge \frac{4}{a+b}` $(đpcm).$
Dấu `”=”` xảy ra khi `a=b.“(∀x,y>0)`
Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ”=” xảy ra khi `a=b.`
Cách 4:
Ta có: `a^2-2ab+b^2\ge 0 `
`⇔a^2+b^2\ge 2ab `
`⇔ ab(a^2+b^2)\ge 2ab.ab `
`⇔ a^3b+ab^3 \ge 2a^2b^2. `
`(1/a-1/b)^2 \ge 0 `
`⇔ 1/a^2 – \frac{2}{ab} + 1/b^2 \ge 0 `
`⇔ 1/a^2 + 1/b^2 \ge \frac{2}{ab}. `
`⇔(1/a^2 + 1/b^2). \frac{1}{ab}\ge \frac{2}{ab}. \frac{1}{ab}`
`⇔ \frac{1}{a^3b}+ \frac{1}{ab^3}\ge \frac{2}{a^2b^2} `
`⇔ \frac{1}{a^2b^2}.(1/a+ 1/b) \ge \frac{2.2}{2a^2b^2}`
Lại có: ` a^3b+ab^3 \ge 2a^2b^2 ⇒ \frac{2.2}{2a^2b^2} \ge \frac{2.2}{a^3b+ab^3}.`
`⇒\frac{1}{a^2b^2}.(1/a+ 1/b) \ge \frac{2.2}{a^3b+ab^3}`
`⇔ \frac{1}{a^2b^2}.(1/a+ 1/b) \ge \frac{1}{a^2b^2}.\frac{4}{a+b}. `
`⇔ 1/a + 1/b \ge \frac{4}{a+b}` $(đpcm).$
Dấu `”=”` xảy ra khi `a=b.“(∀x,y>0)`
Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ”=” xảy ra khi `a=b.`
Câu `2:`
`\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{(x+y)^2}`
Chứng minh:
Ta có: hằng đẳng thức: `(x-y)^2\ge0`
`⇔x^2-2xy+y^2\ge0`
`⇔x^2-2xy+4xy+y^2\ge0+4xy`
`⇔x^2+2xy+y^2\ge4xy`
`⇔(x+y)^2\ge4xy`
`⇔4:(x+y)^2\le4:4xy`
`⇔4/{(x+y)^2}\le1/{xy}(dpcm).`
Dấu ”=” xảy ra khi `x=y.`
Vậy `\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{(x+y)^2}.`Dấu ”=” xảy ra khi `x=y.`
Giải thích các bước giải:
\(2.\)
\(\begin{array}{l}\dfrac 1x+\dfrac 1y\geqslant \dfrac 4{x+y}\ (1)\end{array}\)
Vì \(x,y >0\) nên \((1)⇔\dfrac{x+y}{xy}\geqslant \dfrac 4{x+y}\\⇔(x+y)^2\geqslant 4xy\\ ⇔ x^2+y^2+2xy\geqslant 4xy\\ ⇔ x^2+y^2-2xy\geqslant 0\\ ⇔ (x-y)^2\geqslant 0 \ (\star )\)
Vì \((\star)\) luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh
\(3.\)
\(\dfrac 1{xy}\geqslant \dfrac{4}{(x+y)^2}\ (2)\)
Vì \(x,y>0\) nên \((2)⇔ (x+y)^2\geqslant 4xy\\ ⇔ x^2+y^2+2xy\geqslant 4xy\\ ⇔ x^2+y^2-2xy\geqslant 0\\ ⇔ (x-y)^2\geqslant 0 \ (\star\star) \)
Vì \((\star\star)\) luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh