Cho `x,y\in RR` tm `x^2+y^2=1` và `P=[2(x^2+6xy)]/(2xy+2y^2+1)`. Tính `P_{max}-P_{min}`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Do `x^2+y^2=1` nên `P=\frac{2(x^2+6xy)}{x^2+2xy+3y^2}`

TH1: Nếu `y=0 ⇒x=1`

Thay vào P ta được nên `P=2`

TH2: Nếu `y \ne 0`

\(⇒ P=\dfrac{2[(\dfrac{x}{y})^2+6\dfrac{x}{y}]}{(\dfrac{x}{y})^2+2\dfrac{x}{y}+3}\)

Đặt `t=\frac{x}{y}\ (t \in \mathbb{R})`

`P=\frac{2t^2+12t}{t^2+2t+3}`

Gọi m là GT bất kì của HS `f(t)=\frac{2t^2+12t}{t^2+2t+3}` để PT có nghiệm thì:

`⇔ \frac{2t^2+12t}{t^2+2t+3}=m\ (1)`

Do `t^2+2t+3 = (t+1)^2+2 \ge 2 ∀t`

`⇒ 2t^2+12t=m(t^2+2t+3)`

`⇔ (m-2)t^2+2(m-6)t+3m=0\ (2)`

+) Nếu `m=2`:

`⇒ 2(m-6) \ne 0`

`⇒ m=2` là 1 giá trị của HS `f(t)`

+) Nếu `m \ne 2`

Để `(2)` có nghiệm:

`Δ’ \ge 0`

`⇔ (m-6)^2-3m(m-2) \ge 0`

`⇔ m^2-12m+36-3m^2+6m \ge 0`

`⇔ m^2+3x-18 \le 0`

`⇔ -6 \le m \le 3`

Vì m là GT tùy ý của `f(t)`

`⇒ max_{y \ne 0} P=max_{t \in \mathbb{R}} f(t)=3`

`min_{y \ne 0} P=min_{t \in \mathbb{R}} f(t)=-6`

Kết hợp khi `y=0`

`⇒ P_{max}=3, P_{min}=-6`

`⇒ P_{max}-P_{min}=3-(-6)=9`