Cho `x,y\in RR` tm `xy>0` và `2+1/(xy)=x^3/(2y)+y^3/(2x)+2/(x^2y^2)` Tính GTNN: `P=x^2y^2+x^2+y^2+1+2/(2xy-1)`

0 bình luận về “Cho `x,y\in RR` tm `xy>0` và `2+1/(xy)=x^3/(2y)+y^3/(2x)+2/(x^2y^2)` Tính GTNN: `P=x^2y^2+x^2+y^2+1+2/(2xy-1)`”

1. Đáp án: $P_{min}=6⇔x=y=1$

    

   Giải thích các bước giải:

   Do $xy>0⇒x;y$ cùng dấu

   Do vậy:

   `2+\frac{1}{xy}=\frac{x^3}{2y}+\frac{y^3}{2x}+\frac{2}{x^2y^2}`

   `≥2\sqrt{\frac{x^3}{2y}.\frac{y^3}{2x}}+\frac{2}{x^2y^2}`

   `=2\sqrt{\frac{x^2y^2}{4}}+\frac{2}{x^2y^2}`

   `=2.\frac{xy}{2}+\frac{2}{x^2y^2}=xy+\frac{2}{x^2y^2}`

   `⇔2+\frac{1}{xy}-xy-\frac{2}{x^2y^2}≥0`

   `⇔(2-\frac{2}{x^2y^2})+(\frac{1}{xy}-xy)≥0`

   `⇔\frac{2x^2y^2-2}{x^2y^2}-\frac{x^2y^2-1}{xy}≥0`

   `⇔(x^2y^2-1)(\frac{2}{x^2y^2}-\frac{1}{xy})≥0`

   `⇔(xy-1)(xy+1).\frac{2-xy}{x^2y^2}≥0`

   $⇔(xy-1)(2-xy)≥0$ (do `\frac{xy+1}{x^2y^2}>0`)

   $⇔1≤xy≤2$

   Ta có: `P=x^2y^2+x^2+y^2+1+\frac{2}{2xy-1}`

   `=(x^2y^2+1)+(x^2+y^2)+\frac{2}{2xy-1}`

   `≥2xy+2xy+\frac{2}{2xy-1}`

   `=(4xy-2+\frac{2}{2xy-1})+2`

   `≥2\sqrt{(4xy-2).\frac{2}{2xy-1}}+2`

   `=2\sqrt{4}+2=6`

   Dấu bằng xảy ra

   $⇔\begin{cases}\dfrac{x^3}{2y}=\dfrac{y^3}{2x}\\x^2y^2=1\\x^2=y^2\\4xy-2=\dfrac{2}{2xy-1}\end{cases}⇔x=y=1$ (thỏa mãn $ĐKXĐ$)

   Bình luận