Cho `x, y` là các số không âm thỏa mãn điều kiện: `x^2+y^2=2`
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: `A=\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+3y}`
Cho `x, y` là các số không âm thỏa mãn điều kiện: `x^2+y^2=2`
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: `A=\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+3y}`
Đáp án:
$MAX_{A}=4$ khi $(x; y)=(1; 1)$
$MIN_{A}=\sqrt{3\sqrt{2}+1}+1$ khi $(x; y)=(0; \sqrt{2}); (\sqrt{2}; 0)$
Giải thích các bước giải:
Theo bất đẳng thức bunhiacopxki có:
$2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2$
$⇔ 4 \geq (x+y)^2$
$⇔ x+y \leq 2$
Ta có: $A=\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+3y}$
$⇔ A^2=(\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+3y})^2$
Theo bất đẳng thức bunhiacopxki có:
$(\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+3y})^2 \leq 2(1+3x+1+3y)=2[2+3(x+y)] \leq 2[2+3.2]=16$
$⇔ A^2 \leq 16$
$⇔ A \leq 4$
$\text{Vậy GTLN của A là $4$ khi $(x; y)=(1; 1)$}$
Ta có: $\begin{cases}0 \leq x^2 \leq 2 \\0 \leq y^2 \leq 2\end{cases}$
$⇒ \begin{cases}0 \leq x \leq \sqrt{2}\\0 \leq y \leq \sqrt{2}\end{cases}$
$⇒ \begin{cases}x(x-\sqrt{2}) \leq 0\\y(y-\sqrt{2}) \leq 0\end{cases}$
$⇒ \begin{cases}x^2-x\sqrt{2} \leq 0\\y^2-y\sqrt{2} \leq 0\end{cases}$
$⇒ \begin{cases}x \geq \dfrac{x^2}{\sqrt{2}}\\y \geq \dfrac{y^2}{\sqrt{2}}\end{cases}$
$⇒ x+y \geq \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
Mặt khác: $A=\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+3y}$
$A^2=1+3x+1+3y+2\sqrt{(1+3x)(1+3y)}$
$⇔ A^2=3(x+y)+1+2\sqrt{3(x+y)+1+9xy}+1$
$⇔ A^2 \geq [\sqrt{3(x+y)+1}+1]^2$
$⇒ A \geq \sqrt{3(x+y)+1}+1$
$⇒ A \geq \sqrt{3\sqrt{2}+1}+1$
Vậy GTNN của A là $\sqrt{3\sqrt{2}+1}+1$ khi $(x; y)=(0; \sqrt{2}); (\sqrt{2}; 0)$