Cho `x , y` là các số thực dương . Chứng minh rằng : `(x^4 + y^4)/((x + y)^4) + (√xy)/(x + y) ≥ 5/8`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`(x^4 + y^4)/(x + y)^4 + \sqrt{xy}/(x + y) ≥ 5/8`

`<=>(x^4 + y^4+2x^2y^2)/(x + y)^4 + [\sqrt{xy}(x+y)^3]/(x + y)^4-(2x^2y^2)/(x + y)^4 ≥ 5/8`

`<=>1+ [\sqrt{xy}(x+y)^3]/(x + y)^4-(2x^2y^2)/(x + y)^4 ≥ 5/8`

`<=> [\sqrt{xy}(x+y)^3-2x^2y^2]/(x + y)^4 ≥ -3/8`

Ta có

`(\sqrt{xy}.(x+y)^3-2x^2y^2)/(x+y)^4 >=(\sqrt{xy}.(2\sqrt{xy})^3-2x^2y^2)/(x+y)^4=(6x^2y^2)/(x+y)^4`

Mà

`(6x^2y^2)/(x+y)^4 >=-3/8`

`<=>48x^2y^2>=-3(x+y)^4`

`<=>(x+y)^4>=16x^2y^2`

Đúng do `(x+y)^4>=(2\sqrt{xy})^4=16x^2y^2`

`=>[\sqrt{xy}(x+y)^3-2x^2y^2]/(x + y)^4>=(6x^2y^2)/(x+y)^4>=-3/8`

`=>(x^4 + y^4)/(x + y)^4 + \sqrt{xy}/(x + y) ≥ 5/8`

Dấu `=` xảy ra `<=>x=y`