Cho `x , y` là các số thực dương . Chứng minh rằng : `(x^4 + y^4)/((x + y)^4) + (√xy)/(x + y) ≥ 5/8` 19/07/2021 Bởi Anna Cho `x , y` là các số thực dương . Chứng minh rằng : `(x^4 + y^4)/((x + y)^4) + (√xy)/(x + y) ≥ 5/8`
Đáp án: Giải thích các bước giải: `(x^4 + y^4)/(x + y)^4 + \sqrt{xy}/(x + y) ≥ 5/8` `<=>(x^4 + y^4+2x^2y^2)/(x + y)^4 + [\sqrt{xy}(x+y)^3]/(x + y)^4-(2x^2y^2)/(x + y)^4 ≥ 5/8` `<=>1+ [\sqrt{xy}(x+y)^3]/(x + y)^4-(2x^2y^2)/(x + y)^4 ≥ 5/8` `<=> [\sqrt{xy}(x+y)^3-2x^2y^2]/(x + y)^4 ≥ -3/8` Ta có `(\sqrt{xy}.(x+y)^3-2x^2y^2)/(x+y)^4 >=(\sqrt{xy}.(2\sqrt{xy})^3-2x^2y^2)/(x+y)^4=(6x^2y^2)/(x+y)^4` Mà `(6x^2y^2)/(x+y)^4 >=-3/8` `<=>48x^2y^2>=-3(x+y)^4` `<=>(x+y)^4>=16x^2y^2` Đúng do `(x+y)^4>=(2\sqrt{xy})^4=16x^2y^2` `=>[\sqrt{xy}(x+y)^3-2x^2y^2]/(x + y)^4>=(6x^2y^2)/(x+y)^4>=-3/8` `=>(x^4 + y^4)/(x + y)^4 + \sqrt{xy}/(x + y) ≥ 5/8` Dấu `=` xảy ra `<=>x=y` Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`(x^4 + y^4)/(x + y)^4 + \sqrt{xy}/(x + y) ≥ 5/8`
`<=>(x^4 + y^4+2x^2y^2)/(x + y)^4 + [\sqrt{xy}(x+y)^3]/(x + y)^4-(2x^2y^2)/(x + y)^4 ≥ 5/8`
`<=>1+ [\sqrt{xy}(x+y)^3]/(x + y)^4-(2x^2y^2)/(x + y)^4 ≥ 5/8`
`<=> [\sqrt{xy}(x+y)^3-2x^2y^2]/(x + y)^4 ≥ -3/8`
Ta có
`(\sqrt{xy}.(x+y)^3-2x^2y^2)/(x+y)^4 >=(\sqrt{xy}.(2\sqrt{xy})^3-2x^2y^2)/(x+y)^4=(6x^2y^2)/(x+y)^4`
Mà
`(6x^2y^2)/(x+y)^4 >=-3/8`
`<=>48x^2y^2>=-3(x+y)^4`
`<=>(x+y)^4>=16x^2y^2`
Đúng do `(x+y)^4>=(2\sqrt{xy})^4=16x^2y^2`
`=>[\sqrt{xy}(x+y)^3-2x^2y^2]/(x + y)^4>=(6x^2y^2)/(x+y)^4>=-3/8`
`=>(x^4 + y^4)/(x + y)^4 + \sqrt{xy}/(x + y) ≥ 5/8`
Dấu `=` xảy ra `<=>x=y`