Cho x;y là các số thực thỏa mãn điều kiện: $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$
Tìm Min $S=x^2+3xy-2y^2-8y+5$
Cho x;y là các số thực thỏa mãn điều kiện: $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$
Tìm Min $S=x^2+3xy-2y^2-8y+5$
Đáp án: $S_{min}=-3⇔x=y=2$
Giải thích các bước giải:
$ĐKXĐ:x;y≥1$
Xét $2$ trường hợp:
-Trường hợp $1:x=y=1$
Ta thấy cặp $(x;y)$ này thỏa mãn $ĐKXĐ$ và điều kiện đã cho
Khi đó: $S=1^2+3.1.1-2.1^2-8.1+5=-1$
-Trường hợp $2:x;y$ không đồng thời bằng $1$
Khi đó, ta có:
$\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$
$⇔(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1})+(x\sqrt{x}-y\sqrt{y})=0$
`⇔\frac{(x-1)-(y-1)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+[(\sqrt{x})^3-(\sqrt{y})^3]=0`
`⇔\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+(\sqrt{x}-\sqrt{y})[(\sqrt{x})^2+\sqrt{x}.\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2]=0`
`⇔\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+(\sqrt{x}-\sqrt{y})[(\sqrt{x})^2+\sqrt{x}.\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2]=0`
`⇔(\sqrt{x}-\sqrt{y}){\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+[(\sqrt{x})^2+\sqrt{x}.\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2]}=0(*)`
Với điều kiện $x;y$ không đồng thời bằng $1$ và $ĐKXĐ,$ ta có:
`\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+[(\sqrt{x})^2+\sqrt{x}.\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2]`
`>0+(\sqrt{x})^2+2.\sqrt{x}.\frac{\sqrt{y}}{2}+(\frac{\sqrt{y}}{2})^2+\frac{3}{4}(\sqrt{y})^2`
`=(\sqrt{x}+\frac{\sqrt{y}}{2})^2+\frac{3}{4}(\sqrt{y})^2>0`
Do vậy `(*)⇔\sqrt{x}-\sqrt{y}=0⇔\sqrt{x}=\sqrt{y}⇔x=y`
Ta có: $S=x^2+3xy-2y^2-8y+5$
$=x^2+3x.x-2x^2-8x+5$
$=2x^2-8x+5$
$=2(x^2-4x+4)-3$
$=2(x-2)^2-3≥-3$
Dấu bằng xảy ra $⇔x-2=0⇔x=2$ (thỏa mãn $ĐKXĐ$)
$⇒y=2$