cho x,y là hai vế số thức khác 0 chứng minh $\frac{x^{2}}{y^{2}}$+$\frac{y^{2}}{x^{2}}$+4 $\geq$ 3($\frac{x}{y}$ +$\frac{y}{x}$)

Giải thích các bước giải:

Ta có : 

$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4=(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2+2\ge 3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$

$\rightarrow (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2-3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})+2\ge 0$

$\rightarrow (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2)(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-1)\ge 0(*)$

Do $|\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}|\ge 2\rightarrow \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge 2\rightarrow (*) $ đúng

Hoặc $ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\le -2\rightarrow (*)$ đúng 

$\rightarrow $Hệ thức luôn đúng với mọi m