cho x,y thỏa mãn 4x^2+y^2=1. tìm gtln,gtnn của P=(2x+3y)/(2x+y+2)

0 bình luận về “cho x,y thỏa mãn 4x^2+y^2=1. tìm gtln,gtnn của P=(2x+3y)/(2x+y+2)”

1. Đáp án+Giải thích các bước giải:

   Với `4x^2 + y^2 = 1`                             (*)

    `(ĐKXĐ: 2x + y + 2 ne 0)`

   Ta có `A=(2x + 3y)/(2x + y + 2)`

   `=> P(2x+y+2) = 2x + 3y`

   `<=> 2Px + Py + 2P – 2P + 3y =0`

   `<=> 2(P-1)x + (P-3)y = -2A`                       (1)

   Áp dụng bất đẳng thức `Bunhiacopxki` cho hai bộ số `(2x;y)` và `(P-1; P-3)`

   Ta có: `4P^2 = [2x(P-1) + y(P-3)]^2 ge (4x^2+y^2)*[(P-1)^2 + (P-3)^2]`

   `=> 4P^2 = (P-1)^2-(P-3)^2` (Vì `4x^2 + y^2 =1`)

   Do đó:

   `4P^2 < (P-1)^2 + (P-3)^2 – P^2 – 2P + 1 + P^2 + 1 + P^2 -6P + 9`

   `=> 2P^2 + 8P – 10 le 0`

   `<=> P^2 + 4P – 5 le 0`

   `<=> (P-1)(P+5) le 0`

   `<=> 1 le P le 5`

   Thế `P=1` vào (1) ta được `-2y = – 2 => y = 1`

   Thế `y = 1` vào (*) ta được `x=0=> (x;y) = (0;1)`

   Thế `P = -5` vào (1) ta được `2(-5-1)x + (-5 -3)y = -2(-5)`

   `=> -12x – 8y = 10 <=> 6x + 4y = -5 => y = (-6x -5)/4`

   Thế vào (*) ta được `4x^2 + ((-6x -5)/4)^2 = 1`

   `<=> 100x^2 + 60x + 9 =0`

   `<=> x=-3/10 => y = -4/5`

   Vậy `max A = 1 <=> x = 0; y =1`

   `min A = -5 <=> x = -3/10; y = -4/5`

   Bình luận